Apuntes de clase con un supuesto poco claro sobre la teoría del aprendizaje estadístico

Question

Considere la siguiente introducción a un marco para la teoría del aprendizaje estadístico, tomada de aquí :

Estos párrafos contienen una serie de puntos poco claros (en orden decreciente o de importancia para mí):

1) Es el dominio de las variables aleatorias $(X_i,Y_i)$ también $\mathcal{X}\times\mathcal{Y}$ ¿como su codominio?

2) ¿Cuáles son las "topologías habituales" en $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ ? Las notas no hacen ninguna suposición sobre lo que los conjuntos $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ puede ser, por lo que parece muy incómodo asumir de repente que llevan alguna topología. Además, se afirma que cada se supone que es una función de Borel, y por lo tanto implícitamente cada Se supone que el dominio y el codominio de cada función llevan una topología. Es extraño.

3) ¿Por qué tenemos dos notaciones para la probabilidad de un evento? $P(A)$ y $\mathbb{P}[A]$ ? No tiene ningún sentido para mí.

Answer 1

He aquí una forma de enmarcar el aprendizaje estadístico en el entorno habitual de la teoría de la probabilidad.

Considere $(\Omega,\mathcal A, Q)$ un espacio de probabilidad arbitrario. Sea $(\mathcal X,\mathcal B(\mathcal X))$ y $(\mathcal Y,\mathcal B(\mathcal Y))$ sean los espacios de entrada y salida equipados con su sigma-álgebra de Borel. Las opciones más populares son $\mathcal X=\mathbb R^d$ y $\mathcal Y=\mathbb R$ .

Dejemos que $P$ sea una medida de probabilidad sobre $(\mathcal X \times \mathcal Y, \mathcal B(\mathcal X) \otimes \mathcal B(\mathcal Y))$ y $(X,Y):\Omega \to \mathcal X \times \mathcal Y$ sea un elemento aleatorio. $(X,Y)$ se distribuye según $P$ si la medida pushforward de $Q$ por $(X,Y)$ es $P$ : $$\forall C\in \mathcal B(\mathcal X) \otimes \mathcal B(\mathcal Y), Q((X,Y)\in C) = P(C)$$