Me topé con una pregunta difícil en mi libro de IB HL Matemáticas mientras revisaba para mi prueba de Secuencias y Series que quería compartir. Parece que no puedo resolverlo.
Así es como lo abordé hasta ahora:
- Encontré una serie para generar 2n dígitos "1" y n dígitos "2" respectivamente: $$ \sum_{k=1}^{2n}10^{k-1} $$ $$ \sum_{k=1}^{n}2\cdot10^{k-1} $$
Luego, utilicé la fórmula de la suma:
$$ S_{n} = \frac{U_{1}(1-r^{n})}{1 - r} $$ Para generar n dígitos de 1: $$ S_{2n} = \frac{1(1-10^{2n})}{-9} $$ Para generar n dígitos de 2: $$ S_{n} = \frac{2(1-10^{n})}{-9} $$
En este punto, la pregunta te pide que muestres que, al restar estos términos, te queda un cuadrado perfecto.
Si restas algebraicamente, te queda: $$ \frac{1+10^{2n} - 2\cdot10^{n}}{9} $$
Lo que pensé en hacer fue intentar obtener la raíz cuadrada de esto. El denominador da 3, pero no parece haber una forma de simplificar la raíz cuadrada de la expresión del numerador y mostrar que es un número entero.
¿Alguien puede ayudarme con un método para abordar esto?
¡Gracias!
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Mientras has obtenido una respuesta, así es como podrías haberlo visto por ti mismo: Primero, $10^{2n} = (10^n)^2$. Luego, simplemente ordena el numerador para las potencias, para obtener $(10^n)^2 + 2\cdot 10^n + 1. En ese punto, deberías ser capaz de ver el patrón de la fórmula binomial $a^2 + 2 a b + b^2 = (a+b)^2$ con $a=10^n$ y $b=1$.