Cómo generalizar la siguiente operación en una ecuación matemática

Question

Estoy tratando de generalizar las siguientes formulaciones :

$$score_1=\frac{\sum_{j=1}^{3}FN(v_1,s_1)+FN(v_1,s_2)+FN(v_1,s_3)}{3}$$ $$score_2=\frac{\sum_{j=1}^{3}FN(v_2,s_1)+FN(v_2,s_2)+FN(v_2,s_3)}{3}$$

He probado la siguiente ecuación :
digamos que N=4 Mientras 1 <= i <= N $$score_i=\frac{\sum_{j=1}^{k}FN(v_i,s_j)}{k}$$

¿es correcto mi planteamiento?

Answer 1

Una pista: Parece que las expresiones $score_1$ y $score_2$ no coinciden realmente con lo que usted tenía en mente. Sin embargo tomándolo al pie de la letra obtenemos

$$\begin{align*} score_1&=\frac{\sum_{j=1}^{3}FN(v_1,s_1)+FN(v_1,s_2)+FN(v_1,s_3)}{3}\\ &=\frac{3FN(v_1,s_1)+FN(v_1,s_2)+FN(v_1,s_3)}{3}\tag{1}\\ &=FN(v_1,s_1)+\frac{1}{3}\sum_{j=2}^3FN(v_1,s_j)\tag{2}\\ score_2&=FN(v_2,s_1)+\frac{1}{3}\sum_{j=2}^3FN(v_2,s_j)\tag{3}\\ \end{align*}$$

Generalizamos (1) y (3) iterando el primer argumento $v_i (1\leq i \leq N)$ y tomando $k\geq 1$ como índice superior de la suma. Obtenemos $$\begin{align*} score_i&=FN(v_i,s_1)+\frac{1}{k}\sum_{j=2}^kFN(v_i,s_j)\qquad\qquad 1\leq i\leq N, k\geq 1\tag{4} \end{align*}$$

Comentario:

• En (1) el ámbito de la suma encierra el término $FN(v_1,s_1)$ pero no otros términos. Como este término no depende del índice $j$ y se trata como una constante según la regla $\sum_{j=1}^n a=a\sum_{j=1}^n 1 =n\cdot a$ .

• En (2) simplificamos un poco la expresión.

• En (3) recogemos los términos además del de la izquierda en una suma.

• En (4) observe que en el caso $k=1$ tenemos $\sum_{j=2}^\color{blue}{1}FN(v_i,s_j)=0$ ya que el límite superior $1$ de la suma es inferior al límite inferior $2$ .

Una pista: A mí me parece que tenías algo diferente en mente, a saber

$$\begin{align*} score_1&=\frac{FN(v_1,s_1)+FN(v_1,s_2)+FN(v_1,s_3)}{3}\\ &=\frac{1}{3}\left(FN(v_1,s_1)+FN(v_1,s_2)+FN(v_1,s_3)\right)\\ &=\frac{1}{3}\sum_{j=1}^3FN(v_1,s_j)\\ score_2&=\frac{1}{3}\sum_{j=1}^3FN(v_2,s_j)\\\\ \end{align*}$$

La generalización da ahora

$$\begin{align*} \color{blue}{score_i}&\color{blue}{=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^kFN(v_i,s_j)\qquad\qquad 1\leq i\leq N,\ k\geq 1} \end{align*}$$

Si, por ejemplo, (4) no está tan claro, en el capítulo 2 se presenta una exposición útil y completa de cómo trabajar con sumas: Suma sección 2.1 Notación en Matemáticas concretas por R.L. Graham, D.E. Knuth y O. Patashnik.

Answer 2

Las dos primeras expresiones se escriben sin $\sum _{j=1}^3$ (porque ya están escritas explícitamente). La expresión $\mathrm{score}_i$ está correctamente escrito.

Si especificamos lo que $i$ es, solemos decir "para todos $i$ tal que $1\leq i\leq N$ " o simplemente "para $1\leq i\leq N$ ". Mientras que $1\leq i \leq N$ es totalmente aceptable a mis ojos, pero las opiniones pueden variar al respecto.

Tenga cuidado de no sobrecargar su notación. Por ejemplo, en este momento estoy detectando $N$ y $N(x,y)$ o es $FN(x,y)$ ?