Cuando se sale por la tangente de su área habitual, en la que, presumiblemente, domina tanto toda la investigación de vanguardia gracias a su lectura rutinaria que apenas necesita hacer nada extra (si esto es falso, por favor, corríjame), ¿en qué medida trata de familiarizarse con esa área antes de empezar a atacar directamente su problema? ¿Lees sólo unos pocos artículos y estudios canónicos, revisas a fondo una docena y echas un vistazo a un par de docenas más, o haces lo suficiente como para escribir un artículo completo de investigación por tu cuenta?
Estoy de acuerdo. A menudo es muy útil intentar primero ver qué puedes hacer con lo que ya sabes. Si tienes mucha suerte, puedes atacar el problema desde un ángulo nuevo que te lleve a nuevas perspectivas y resultados. En el peor de los casos, te haces una idea de dónde están los obstáculos, lo que al menos a mí me facilita la lectura del trabajo de otras personas sobre el problema.
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La única respuesta posible que se me ocurre para esta pregunta es: depende.
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La deriva de las respuestas hasta ahora es mucho más "sumérgete de cabeza, luego lee mientras trabajas" de lo que esperaba. La verdad es que me alegra saberlo: he estado leyendo hasta la saciedad sobre un problema y sigo teniendo la sensación de que me estoy perdiendo una gran cantidad de datos importantes. Me habéis inspirado para ponerme manos a la obra.
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Usando la perspicacia matizada de @DeaneYang, podemos simplificar muchos resultados conocidos: Que $p$ sea un primo. ¿Existe una expresión $p = a^2 + b^2$ como suma de cuadrados? Depende. QED