¿Alguien conoce una demostración intuitiva del teorema ergódico de Birkhoff?

Question

Para muchos teoremas estándar y bien entendidos, las pruebas se han simplificado hasta el punto de que sólo hay que entender la prueba una vez y se recuerda la idea general para siempre. En este momento he aprendido tres pruebas diferentes del teorema ergódico de Birkhoff en tres ocasiones distintas y, sin embargo, probablemente no podría explicar ninguna de ellas a un amigo, ni siquiera sentarme y recuperar todos los detalles. El problema parece ser que todas ellas dependen fundamentalmente de algún frustrante truco combinatorio, cada uno de los cuales fue aparentemente inventado sólo para servir a este resultado. ¿Ha visto alguien un enfoque más natural que pueda recordar? Ten en cuenta que no estoy buscando necesariamente una prueba corta (esas suelen ser las peores), sino un argumento que me haga sentir que podría haberlo inventado si me dieran suficiente tiempo.

Answer 1

No sé si esto ayuda o si ya lo has visto antes, pero para mí tiene mucho más sentido intuitivo que el enfoque combinatorio del libro de Halmos.

El punto clave de la prueba es demostrar el teorema ergódico máximo. Éste establece que si $M_T$ es el operador máximo $M_T f= \sup_{n >0} \frac{1}{n+1} (f + Tf + \dots + T^n f)$ entonces $\int_{M_T f>0} f \geq 0$ . Aquí $T$ es el mapa asociado a las funciones procedentes de la transformación que preserva la medida.

Se trata de una desigualdad de tipo débil, y el hecho de que se considere el operador maximal no es terriblemente sorprendente dado que surgen en a) la demostración del teorema de la diferenciación de Lebesgue (concretamente, a través del operador maximal de Hardy-Littlewood $Mf(x) = \sup_{t >0} \frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t} |f(r)| dr$ . b) En la teoría de integrales singulares, se puede definir un operador maximal de la misma manera y demostrar que es $L^p$ -para $1 < p < \infty$ y débil- $L^1$ acotada en casos homogéneos convenientemente agradables (por ejemplo, la transformada de Hilbert). Una de las consecuencias de esto es, por ejemplo, que la transformada de Hilbert puede calcularse a.e. mediante el valor principal de Cauchy de la integral habitual. c) Estoy bastante seguro de que la acotación del operador máximo de las sumas parciales de las series de Fourier se utiliza en la demostración del teorema de Carleson-Hunt. Así que el uso de operadores maximales (y, en particular, de límites débiles sobre ellos) para establecer la convergencia es bastante estándar. Una vez establecida la desigualdad máxima, no suele ser muy difícil obtener el resultado de convergencia puntual, y el teorema ergódico no es una excepción.

El teorema ergódico máximo se generaliza en realidad al caso en que $T$ es un operador de $L^1$ -norma a lo sumo 1, y pensar en ello en un sentido más general podría cumplir los criterios de su pregunta. En particular, dejemos que $T$ ser como se acaba de mencionar, y considerar $M_T$ descrito de forma análoga. O más bien, considere $M_T'f = \sup_{n \geq 0} \sum_{i=0}^n T^if$ . Claramente $M_T'f >0$ si $M_Tf >0$ . Además, $M_T'$ tiene la propiedad crucial de que $T M_T' f + f = M_T' f$ siempre que $M_Tf>0$ .

Por lo tanto, $\int_{M_T'f>0} f = \int_{M_T'f>0} M_T'f - \int_{M_T'f>0} TM_T'f.$ De hecho, la primera parte es $||M_T'f||_1$ porque el operador máximo modificado es siempre no negativo. La segunda parte es como máximo $||T M_T'f|| \leq ||M_T'f||$ por la condición de norma. Por lo tanto, la diferencia es no negativa.

Tal vez esto sea útil: dejemos que $M$ sea un operador (no necesariamente lineal) que envíe funciones a funciones no negativas tal que $(T-I)Mf = f$ donde $Mf>0$ , para $T$ un operador de $L^1$ -norma a lo sumo 1). Entonces $\int_{Mf>0} f \geq 0$ . La prueba es la misma.

Answer 2

Conozco seis pruebas del teorema ergódico de Birkhoff.

• utilizando una desigualdad máxima (Birkhoff, Riesz, Wiener, Yosida, Kakutani, Garsia...)

• basado en martingalas y desigualdades de cruce (Bishop 1966)

• utilizando un análisis no estándar (Kamae 1982)

• basado en desigualdades variacionales (Bourgain 1988)

• utilizando un esquema de relleno (Chacon)

• Prueba de Katznelson-Weiss (1982) y derivados (Keane, Petersen)

La última me parece la más fácil de recordar. Puede parecer un truco de combinatoria, pero si se piensa un poco, parece bastante natural, y conozco varios resultados que utilizan alguna idea similar.

Así que dejemos $\epsilon>0$ y $x$ en $X$ . Podemos encontrar un $n(x)$ en función de $x$ tal que $$ \overline{\lim}\ {1\over n}\ \Sigma_0^{n-1}\ f(T^k(x)) \leq \lim {1\over n(x)} \sum_{k=0}^{n_(x)-1} f(T^k(x))\ +\ \varepsilon$$ Tenga en cuenta que $n(x)$ es finito en todas partes, por lo que está acotado en un conjunto $R$ con complemento de medida pequeña arbitraria. Entonces se corta la suma de Birkhoff según la secuencia $n_{i+1}(x)=n_i(x)+n(T^{n_i}(x))$ si $T^{n_i}(x)$ está en R, $n_{i+1}(x)=n_i(x)+1$ de lo contrario. Una imagen debería dejar claro lo que ocurre. El resto de la prueba es una comprobación rutinaria.

Por supuesto, si te dedicas a los análisis no estándar, la prueba de Kamae es corta y esclarecedora, pero luego hay que trabajar un poco para conseguir el enunciado estándar.

Answer 3

Me gusta la siguiente interpretación de (una forma más débil de) la desigualdad máxima.

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Lema: Supongamos que $\int f \mathrm{d}\mu > 0$ entonces $\mu(x: f(x) + \cdots + f(T^{n-1}x) > 0\text{ for all }n \ge 1) > 0$ .

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Con esta versión de la desigualdad máxima el teorema de Birkhoff es obvio en el caso ergódico como sigue:

Podemos suponer $\int f \mathrm{d}\mu = 0$ . Para simplificar la notación, establezca $S_n(x) = \sum_{k = 0}^{n-1}f(T^kx)$ .

Aplicando el lema a $f+\epsilon$ obtenemos que existe un conjunto de medidas positivas en el que $\liminf_n \frac{S_n}{n} \ge -\epsilon$ .

Dejar $\epsilon$ se va a cero y utilizando la ergodicidad (es decir, el liminf es constante) se obtiene $\liminf_n \frac{S_n}{n} \ge 0$ casi en todas partes.

Haga lo mismo con $-f$ y obtener $\lim_{n}\frac{S_n}{n} = 0$ casi en todas partes. $\Box$

Una cosa que me gusta de este lema es que se extiende al caso subaditivo. En la teoría ergódica subaditiva la desigualdad máxima da límites superiores, pero no inferiores. Pero, de hecho, el lema anterior se puede obtener de forma independiente y da límites inferiores. Por lo que sé, fue introducido por primera vez en este contexto por Anders Karlsson y Gregory Margulis en "A multiplicative ergodic theorem and nonpositively curved spaces" (Communications of Mathematical Physics) 1999. Su prueba del lema se basa en una buena observación sobre las secuencias de números reales, debida a Riesz (llamada el lema del líder).

Answer 4

Me gusta una respuesta que me mostró Mate Wierdl.

Se replantea la desigualdad máxima de esta manera:

Dejemos que

$$ Mf(x) = \sup_N (1/N)\sum_{n < N}f(T^nx). $$

y primero demostrar que $\|Mf\|_{1,\infty}\le\|f\|_1$ .

Aquí por $\|\cdot\|_{1,\infty}$

Me refiero al "débil $L^1$ norma" (que en realidad no es una norma en absoluto) definida por $\|g\|_{1,\infty}=\sup_a a \cdot m( \{ x\colon |g|(x)\le a \}) $ (el área del mayor rectángulo que cabe bajo $|g|$ ).

Esto tiene una bonita (y sencilla e intuitiva) prueba si se trabaja con los enteros y $T$ es el mapa $T(n)=n+1$ . Existe entonces una técnica llamada transferencia que permite tomar la prueba en su sistema favorito y transferirla a cualquier otro sistema.

A continuación, demuestra que esto implica que cuando se tiene una desigualdad máxima, el conjunto de funciones para las que se obtiene una convergencia en casi todas partes es cerrado en $L^1$ . (Supongamos que el teorema ergódico funciona para $f_1,f_2,\ldots$ y $\|f_n-f\|_1\to 0$ . Utilice la desigualdad máxima para deducir que el teorema ergódico se cumple para $f$ ).

En esta etapa se sabe que el conjunto de $f$ para los que se cumple el teorema ergódico es un conjunto cerrado, por lo que ya está hecho si se puede encontrar un conjunto denso de $f$ para los que esto funciona. Dado que usted está buscando un conjunto denso que está bien para trabajar con $L^2$ . El resultado es obvio para los co-límites y el complemento ortogonal del espacio de los co-límites es el conjunto de las funciones invariantes (para las que el resultado es aún más obvio). QED.