Unicidad de la función logaritmo

Question

En mi clase de Análisis, empezamos a demostrar un teorema que decía:

Sea a > 1. Entonces hay una única función creciente $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ para que:

1. $f(a) = 1$
2. $f(xy) = f(x) + f(y)\quad\forall x, y > 0$

Primero suponemos su existencia. Luego, a través de 2 se deduce que f es un homomorfismo de grupo entre el grupo multiplicativo $(0,\infty)$ y el grupo aditivo $\mathbb{R}$ .

$f(x) = f(x\cdot1) = f(x)+f(1)$ Así que $f(1)=0=f(x\cdot x^{-1})=f(x)+f(x^{-1})$

Entonces $f(x^{-1}) = -f(x)$ .

Afirmamos que $f(x^n) = n f(x)\quad\forall x>0, n \in \mathbb{N}$ (y luego demostramos por inducción).

Sea x > 0 y $n\in \mathbb{N}^*$ . Así que existe $m \in \mathbb{Z}$ para que $a^m \le x^n \le a^{m+1}$

Así que $f(a^m) \le f(x^n) \le a^{m=1}$ es decir $m\le nf(x) \le m+1$

Y finalmente $m/n \le f(x) \le (m+1)/n$

Dejemos que $A_x = \{ \frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z},\: n \in \mathbb{N},\: a^m \le x^n\}$

Así que $f(x) = sup A_x$

Dijo que esto significa que f es único, pero no veo ninguna razón para ello. He omitido algunos lemas y partes de la prueba, pero he mantenido todos los resultados. Está bastante claro que f es $log_ax$ Pero, ¿por qué es único?

Edición: No consigo que LaTeX funcione. Todo parece bien durante la edición, pero mal en la página de la pregunta.

Answer 1

Supongamos que en algún momento $x$ la función $f(x)$ asume un valor diferente $f(x)\ne\sup A_x$ .

Si $f(x)>\sup A_x$ , toma un número racional $m/n$ en el intervalo $(\sup A_x,f(x))$ . No pertenece a $A_x$ (de lo contrario, es como máximo $\sup A_x$ ), por lo que $a^m>x^n$ que implica $m>nf(x)$ Por lo tanto $f(x)$ es menor que $m/n$ una contradicción.

Si $f(x)<\sup A_x$ , entonces toma cualquier $m/n\in A_x$ que es mayor que $f(x)$ (si todos esos $m/n\in A_x$ son menores o iguales que $f(x)$ entonces $\sup A_x$ es menor o igual que $f(x)$ también por la definición del supremum). En este caso $m/n\in A_x$ implica $a^m\le x^n$ para que $m\le nf(x)$ o $f(x)\ge m/n$ , de nuevo una contradicción.

Por lo tanto, la única opción para la función $f(x)$ para satisfacer (1), (2) y la propiedad creciente es asumir el valor $\sup A_x$ en el punto $x$ .