Optimización no lineal, KKT

Question

Máximo: $10x_1-2x_1^2-x_1^3+8x_2-x_2^2$
s.t.
$x_1+x_22$
$x_10$
$x_20$

Se supone que debo escribir las condiciones KKT, demostrar que (-1,-1) no es óptimo y encontrar la solución a este problema.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:
$-x_1<0$
$-x_2<0$

Ignorando el $x_2$ ya que la dependencia lineal está presente. De ahí que haya formulado estas ecuaciones:

$L(x_1,x_2,_1,_2):10x_1-2x_1^2-x_1^3+8x_2-x_2^2-_1*(x_1+x_2-2)-_2*(-x_1)=0$

$L(\frac{L}{x_1})=10-4x_1-3x_1^2-_1+_2=0$
$L(\frac{L}{x_2})=8-2x_2-_1=0$

Condiciones de holgura complementarias:

$_1*(x_1+x_2-2)=0$
$_2*(-x_1)=0$

Esto llevaría a cuatro casos diferentes:

1º: $_1=0$ & $_2=0$
2°: $_1=0$ & $(-x_1)=0$
3ª: $_2=0$ & $(x_1+x_2-2)=0$
4ª: $(x_1+x_2-2)=0$ & $(-x_1)$

Pasé muchas horas tratando de entenderlo. ¿Esto es correcto hasta ahora? Si no es así, ¿podríais indicarme qué es lo que falla? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

En primer lugar, te falta un $\mu_3$ como tal \begin{equation} L(x_1,x_2,\mu)= - \Big( 10x_1 - 2x_1^2 - x_1^3 + 8x_2 - x_2^2 \Big) + \mu_1 (x_1 + x_2 - 2) - \mu_2 x_1 - \mu_3 x_2 \end{equation}

Toma. $3^{rd}$ uno de allí. Intentemos $$x_1 + x_2 = 2 \tag{0}$$ y ver qué pasa. También tome $\mu_2 = \mu_3 = 0$ . Rehaciendo todo como lo has hecho, conseguimos:

\begin{align} 10 -4x_1 - 3x_1^2 - \mu_1+\mu_2 &= 0\\ 8 - 2x_2 - \mu_1+\mu_3 &= 0\\ \mu_1 (x_1 + x_2 - 2) &= 0 \\ \mu_2x_1 = \mu_3x_2 &= 0 \end{align} Ahora vamos a elegir $x_1+x_2 =2$ , lo que significa que $\mu_1$ es un parámetro libre, y también vamos a elegir $\mu_2 = \mu_3= 0$ lo que nos lleva a \begin{align} 10 -4x_1 - 3x_1^2 - \mu_1 &= 0 \tag{1}\\ 8 - 2x_2 - \mu_1 &= 0 \tag{2}\\ x_1 + x_2 &= 2 \end{align} Así, la ecuación (2) en KKT nos dice que $$x_2 = \frac{8-\mu_1}{2}$$ Ahora para $x_1$ , sólo hay que resolver la ecuación cuadrática, se obtendrá $x_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{136 - 12\mu_1}}{6}$ . Eligiendo el positivo, porque el problema de optimización nos restringe a positivos $x_1$ 's. Por lo tanto, $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{136 - 12\mu_1}}{6}$$ Ahora, sustituye $x_1 + x_2 = 2$ y resolver para $\mu_1$ , \begin{equation} \frac{-4 + \sqrt{136 - 12\mu_1}}{6}+\frac{8-\mu_1}{2}=2 \end{equation} Resolviendo lo anterior para $\mu_1$ y escogiendo la solución positiva se obtiene $\mu_1 = \frac{36 + \sqrt{3888}}{18}$ . Sustitución en $x_1,x_2$ obtenemos \begin{equation} x_1 = \frac{-4 + \sqrt{136 - 12\frac{36 + \sqrt{3888}}{18}}}{6} > 0 \end{equation} y \begin{equation} x_2 = \frac{8-\mu_1}{2} = \frac{8 - \frac{36 \pm \sqrt{3888}}{18}}{2} > 0 \end{equation} Por lo tanto, ambos $x_1,x_2$ son positivos y suman $2$ . Esta es entonces una solución óptima. ¿Hay otras? Bueno, si eliges $\mu_k = 0$ para todos $k$ entonces está claro que obtendremos $x_2=4$ Por lo tanto $x_1+x_2$ no puede ser inferior a $2$ si $x_1\geq 0$ . En total tiene $2^3 = 8$ casos a discutir. Hasta ahora hemos discutido dos. Verá que $\mu_3 \neq 0$ y $\mu_1=\mu_2=0$ le dará el óptimo.