En la literatura vemos la terminología "forma multilineal" o " $n$ -forma". Estoy acostumbrado a referirme a la palabra "forma" para significar un polinomio homogéneo. pero aquí lo definimos como un mapa $f:V^n\to F$ , ( $V$ es un $F$ -espacio vectorial), tal que $f$ es lineal en cada uno de sus componentes. Me confunde la terminología, por ejemplo, ¿hay alguna relación entre una forma bilineal y una forma cuadrática?
Respuesta
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Matt Dawdy
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Si $B : V^2 \to F$ es una forma bilineal simétrica, entonces $B(v, v) : V \to F$ es una forma cuadrática. Si $F$ no tiene la característica $2$ entonces, a la inversa, si $q(v) : V \to F$ es una forma cuadrática, entonces $$B(v, w) = \frac{q(v + w) - q(v) - q(w)}{2}$$
es una forma bilineal simétrica.
En general, si $f : V^n \to F$ es una forma multilineal simétrica, entonces (en una característica suficientemente grande) puede ser identificada (no del todo canónicamente) con un elemento del potencia simétrica $\text{Sym}^n(V^{\ast})$ . Este poder simétrico reside en el álgebra simétrica $\text{Sym}(V^{\ast})$ que se puede considerar como una forma abstracta de un anillo de polinomios (es el anillo de funciones polinómicas sobre $V$ ).
