La oscilación menor que epsilon da la propiedad cerca de x

Question

Estoy trabajando con un libro de texto de Análisis Real y me encontré con este problema que me está costando hacer riguroso

Dejemos que $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ estar acotado, $\epsilon>0$ y $\omega_f(x) < \epsilon$ para todos $x \in [a, b]$ . Mostrar para cada $x_0 \in (a, b)$ existe $h > 0$ tal que $x, y \in B_h(x_0) \implies |f(x) f(y)| < \epsilon$ .

El libro define la oscilación ( $\omega_f(x_0)$ ) para ser $\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)-\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)$ .

Veo la idea general de que la oscilación sea menor que $\epsilon$ nos dice que cerca de $x_0$ La función no puede cambiar demasiado, pero no veo cómo establecer rigurosamente esa conexión.

Answer 1

Tenemos para todos $z \in [a,b]$ ,

$$\lim_{\delta \to 0+}\sup\{f(x) :x \in B_\delta(z)\cap[a,b]\} - \lim_{\delta \to 0+}\inf\{f(x) :x \in B_\delta(z)\cap[a,b]\}\\:= \omega_f(z) < \epsilon, $$

y existe $\delta_z $ tal si que $x,y \in B_{2\delta_z}(z)\cap[a,b]$ entonces $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .

Desde $[a,b]$ es compacto y $\{B_{\delta_z}(z):z \in [a,b]\}$ es una cubierta abierta, existe un subconjunto finito de intervalos $B_{\delta_k}(z_k)$ donde $k = 1, \ldots, n$ y

$$\tag{*}[a,b] \subset \bigcup_{k=1}^n B_{\delta_k}(z_k)$$

Para cualquier $x \in [a,b]$ existe por (*) una $j$ tal que $x \in B_{\delta_j}(z_j)$ . Sea $\delta = \min(\delta_1,\ldots, \delta_n)$ y supongamos que para $y \in [a,b]$ tenemos $|y-x| < \delta$ . Entonces tenemos $|x - z_j| < \delta_j < 2\delta_j$ y

$$|y-z_j| \leqslant |y-x| + |x- z_j| < \delta + \delta_j < 2\delta_j$$

Así, $x,y \in B_{2\delta_z}(z_j)\cap[a,b]$ y se deduce que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .

En resumen, para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x,y \in [a,b]$ tal que $|x-y|< \delta$ tenemos $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .

Por último, para cualquier $x_0 \in (a,b)$ existe $h_0>0$ tal que $B_{h_0}(x_0) \in (a,b)$ desde $(a,b)$ está abierto. Dejemos que $h = \min (h_0,\delta/2)$ . Si $x,y \in B_h(x_0)$ , entonces tenemos ambos $x,y \in [a,b]$ y $|x-y|< \delta$ y, por lo tanto, $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .