Grand Prix Race- Ecuaciones diferenciales

Question

El conductor A ha aventajado a su archirrival B durante un tiempo por una distancia constante de 3 millas. A sólo 2 millas de la meta, el conductor A se quedó sin gasolina y desaceleró a partir de entonces a una tasa proporcional al cuadrado de su velocidad restante. Una milla después, la velocidad del conductor A se redujo exactamente a la mitad. Si la velocidad del conductor B se mantuvo constante, ¿quién ganó la carrera?

Answer 1

Dejemos que $A(t)$ sean las distancias desde el final de $A$ en el momento $t$ desde que A se queda sin gas, y la velocidad inicial de $A$ y $B$ sea $v$ . Entonces $B$ lleva un tiempo de $\frac{5}{v}$ para llegar a la meta.

$A(0)=0 \ , \ A'(0)=-v$

$\frac{\mathrm{d}^2A}{\mathrm{d}t^2}=k(\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t})^2\\$

Separación de variables para encontrar $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$ seguido de la integración da $A(t)=c_1t+\frac{kt^4}{12}+c_2$ .

De las condiciones de contorno, $c_2=2 \ \ c_1=-v$ .

Donde $A(t)=1, \ \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{v}{2}$ . Por lo tanto, $v=\frac{2kt^3}{3}, \ t^4=\frac{12}{7k}$ y $k^4=0.534v$ .

No puedo responder a la pregunta sin saber $v$ pero el tiempo que se tarda en $a$ es justo la solución a $A(t)=0$ .

Answer 2

La verdadera solución (respuesta larga para dummies):

Sólo para que el público lo sepa, la respuesta a este ejercicio es "A gana" (como se indica en la página de soluciones en la parte posterior del libro de donde se ha sacado esto <no estoy seguro de poder poner el nombre del libro aquí>).

Para que el ejercicio sea sencillo (y no se necesite más información), empecemos por conocer un sencillo diagrama para establecer los puntos de partida temporales y espaciales.

El punto de partida del $x$ es el punto en el que el coche A (el coche azul) se queda sin gasolina.

Para el conductor B (En el coche verde y blanco):

Nota: Este es un largo procedimiento para sondear (lo obvio) que el coche B tomará $t=\frac{5}{V_I}$ para llegar a la meta.

La aceleración del conductor B es nula ya que va a una velocidad constante (llamémosla $V_I$ ).

$a_B(t)=0$

$\frac{dv_B}{dt}=0$

Después de resolver la ecuación diferencial:

$v_B(t)=V_I$

Además, sabemos que $v_B$ = $\frac{dx_B}{dt}$ :

$\frac{dx_B}{dt}=V_I$

Resolviendo la ecuación diferencial tenemos:

$x_B(t)=V_It+C_0$

Sabemos que $x(0)=-3$ con $x$ en millas:

$-3=C_0$

Así, la expresión espacial para el conductor B es:

$x_B(t)=V_It-3$

Y con esto tenemos la situación esperada, el coche B tomará $t_{B_{finishes}}=\frac{5}{V_I}$ para llegar a la meta.

Para el conductor A (En el coche azul):

Como " A se quedó sin gasolina y desaceleró a partir de entonces a un ritmo proporcional al cuadrado de su velocidad restante ":

$a_A(t)=\frac{dv_A}{dt}=-kv^2$

Resolviendo la ecuación diferencial tenemos:

$\frac{1}{kv}=t+C\hspace{1cm}$ $\therefore$ $\hspace{1cm}v_A(t)=\frac{1}{kt+C_1}$ $\hspace{1cm}$ donde $C_1=kC$

Y aquí podemos utilizar una condición inicial $v_A(0)=V_I$ :

$v_A(0)=V_I=\frac{1}{0k+C_1}\hspace{1cm}$ $\therefore$ $\hspace{1cm}C_1=\frac{1}{V_I}$

entonces:

$v_A(t)=\frac{1}{kt+\frac{1}{V_I}}\hspace{5cm}(1)$

Pero también sabemos (como con el conductor B, las leyes de la física no cambian aquí) que $\frac{dx_A}{dt}=v_A$ Así que..:

$\frac{dx_A}{dt}=\frac{1}{kt+\frac{1}{V_I}}$

Resolver la ecuación diferencial (con x en millas, obviamente):

$x_A(t)=\frac{\ln\left(kt+\frac{1}{V_I}\right)}{k}+C_2\hspace{1cm}$ o $\hspace{1cm}x_A(t)=\frac{\ln\left(kt+\frac{1}{V_I}\right)+C_3}{k}\hspace{1cm}$ donde $\hspace{1cm}C_3=C_2k$

Ahora, sabemos que en $t=0$ la unidad A está en $x=0$ Así que..:

$0=\frac{\ln\left(\frac{1}{V_I}\right)+C_3}{k}$

Y esto nos lo da:

$C_3=-\ln\left(\frac{1}{V_I}\right)$

Entonces:

$x_A(t)=\frac{\ln\left(kt+\frac{1}{V_I}\right)-\ln\left(\frac{1}{V_I}\right)}{k}$

Y finalmente, después de algunas operaciones:

$x_A(t)=\frac{\ln(V_Ikt+1)}{k}\hspace{4.5cm}(2)$

En este punto el problema está básicamente resuelto, sabemos que en $x_A=1$ el valor de $v_A=\frac{V_I}{2}$ Así pues, ( $t_b$ es el tiempo en el que el conductor A ha recorrido una milla después de haberse quedado sin gasolina):

$1=\frac{\ln(V_Ikt_b+1)}{k}$

Esta expresión en términos de $t_b$ es:

$t_b=\frac{e^k-1}{V_Ik}$

Este es el momento en el que el conductor A habrá reducido a la mitad la velocidad constante, por lo que

$\frac{V_I}{2}=\frac{1}{k\left(\frac{e^k-1}{V_Ik}+\frac{1}{V_I}\right)}$

Algunas operaciones conducen a $e^k=2$ así que $k\approx0.6931$ entonces:

$x_A(t)=\frac{ln(0.6931V_It+1)}{0.6931}$

Ahora es el momento de $x_A=2$ :

$2=\frac{ln(0.6931V_It_{A_{finishes}}+1)}{0.6931}$

Y la limpieza $t$ :

$t_{A_{finishes}}=\frac{4.327835}{V_I}$

Y como $t_{A_{finishes}}<t_{B_{finishes}}$ entonces Una victoria .