¿Es transitiva cualquier relación que contenga un solo par ordenado?

Question

Necesito una aclaración.

Dejemos que $A=\{1,2,3\}$ sea un conjunto y $R=\{(1,2)\}$ sea una relación sobre $A$ .

¿Es una relación transitiva? Estoy confundido porque algunos libros de texto dicen $R$ es transitiva si contiene sólo un par ordenado.

No soy capaz de explicar por qué $R$ puede decirse que es transitiva en el caso anterior.

Se dice que una relación es transitiva si $(a,b) \in R$ y $(b,c) \in R$ entonces $(a,c) \in R $ .

Si P entonces Q.

$P: (a,b) \in R$ y $(b,c) \in R$ y $Q:(a,c) \in R$

Pero aquí sólo una condición de $P$ se satisface. Según algunas fuentes, si la segunda condición, es decir $(b,c) \in R$ no existe, $R$ se dice que es transitiva. Podemos decir $R$ ¿es transitivo? ¿O necesitamos ambas condiciones de $P$ ?

Answer 1

La condición transitiva es verdadera de forma vacía. Es como decir que "Todas las mujeres del coche están en llamas" es verdadera, cuando un hombre está solo en el coche.

Answer 2

Sí, es es una relación transitiva, vacuamente Así que Es decir, no hay contraejemplos en la relación que violen la transitividad.

La transitividad requiere que

Si $(P)$ : $(i)$ $(a, b) \in R\;$ Y $(ii)$ $(b, c) \in R$ (condiciones)

ENTONCES $(Q)$ de lo que se deduce que $(a, c) \in R$ (consecuente)

Desde $(P)$ las condiciones (i) y (ii), nunca se realizarán/satisfarán ambas, ya que el único elemento en $R$ es $(1, 2)$ tenemos que la implicación $(P) \implies (Q)$ es una verdad vacía .

NOTA: Podemos definir de forma equivalente la transitividad como una propiedad que SOSTENIDO A MENOS QUE existe un caso (contraejemplo) para el que ambas condiciones en $(P)$ se cumplen, pero el consecuente $(Q)$ es falso (no se sostiene.)

Answer 3

R es transitiva en un sentido vacío, porque en una relación transitiva, queremos lo siguiente $ \forall x,y,z\in A, (x,y)\in R \wedge (y,z)\in R \Rightarrow (x,z)\in R $ pero esto no garantiza la existencia de 3 pares en R. Para simplificar, escribamos $ \alpha =[(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R], \beta =[(x,z)\in R] $ . Así que lo que queremos es que $ \alpha \Rightarrow \beta$ pero si $ \alpha $ tiene un valor de verdad de 0, entonces según la tabla de verdad de la implicación, entonces $ beta$ siempre tendrá un valor de verdad de 1, lo que significa que una relación R es transitiva si $ \alpha$ implica $ \beta $ en R.

Por ejemplo, en este caso, sólo (1,2) está en R (lo que significa $ \alpha $ tiene un valor de verdad de 0, porque no podemos encontrar 2 pares distintos en R), y por lo tanto, $ \beta $ tiene un valor de verdad de 1, por lo tanto, encontramos que $ \alpha \Rightarrow \beta$ y, por tanto, R es transitivo.

Answer 4

Sí, la relación será transitiva, pero por razones vacías. No hay pares $(a,b)$ y $(b,c)$ en $R$ , por lo que la afirmación $$\forall (a,b),(c,d)\in R (b=c \Rightarrow (a,d)\in R)$$ se mantiene de hecho.