Cómo encontrar matemáticamente el marco de los ejes principales para una distribución aleatoria de la masa $\rho(r)$ ?

Question

Cómo encontrar matemáticamente el marco de los ejes principales para una distribución aleatoria de masa con densidad $\rho(r)$ ? Es decir, ¿cómo encontrar el origen y la base ortonormal de forma que el momento de la matriz de inercia se diagonalice?

Answer 1

Utiliza cualquier sistema de coordenadas cartesianas para calcular el tensor de momento de inercia. Será simétrico.

Encuentra sus vectores y valores propios, considerándolo como una matriz. Los vectores propios dan las direcciones de los ejes principales en el sistema de coordenadas original. Como la matriz es simétrica, serán ortogonales; por supuesto, puedes normalizarlos para que tengan longitud unitaria.

Los valores propios te dan los valores de la diagonal de la matriz diagonalizada.