Demuestra que $y$ depende continuamente de $x$

Question

Dejemos que $X\subset \mathbb{R}^m$ y $K\subset \mathbb{R}^n$ estar con $K$ un conjunto compacto. Sea $f:X\times K\rightarrow \mathbb{R}^p$ sea una función continua y que $c\in \mathbb{R}^p$ sea tal que para cada $x\in X$ sólo hay una $y\in K$ tal que $f(x,y)=c$ . Demostrar que $y$ depende continuamente de $x$ .

Cómo garantizar la continuidad de $y=y(x)$ con $y:X\rightarrow K$ ?

Estoy tratando de mostrar que $(x_r)\rightarrow a$ , ellos $y(x_r)\rightarrow y(a).$ ¿Sería mejor utilizar la contradicción?

Answer 1

Supongamos que $x_k \to x$ . Sea $y_k$ sea tal que $f(x_k,y_k) = c$ . Sea $y$ sea tal que $f(x,y) = c$ .

Supongamos que $y_k'$ es una sucesión de $y_k$ . El $y_k'$ se encuentran en un conjunto compacto por lo que hay una subsecuencia más $y_k''$ que converge a algún $y''$ . Desde $f(x,y'') = c$ debemos tener $y''=y$ .

Por lo tanto, cualquier sucesión de $y_k$ tiene una subsecuencia que converge a $y$ y por lo tanto $y_k \to y$ .