$\varepsilon$ - $\delta$ prueba de $\sqrt{x+1}$

Question

Necesitan demostrar que $ \lim_{x\rightarrow 0 } \sqrt{1+x} = 1 $

prueba de ello es:

necesitamos encontrar un delta tal que $ 0 < |x-1| < \delta \Rightarrow 1-\epsilon < \sqrt{x+1} < \epsilon + 1 $ si elegimos $ \delta = (\epsilon + 1)^2 -2 $ y considerar $ |x-1| < \delta = (\epsilon + 1)^2 - 2 $ $ 4 - (\epsilon + 1)^2 < x +1 < (\epsilon + 1)^2 $ $ \sqrt{4-(\epsilon + 1)^2} -1 < \sqrt{x+1} -1 < \epsilon$ pero necesito demostrar que $\sqrt{4-(\epsilon + 1)^2} -1 > -\epsilon $ antes de que esta prueba esté completa...

¿alguna ayuda para terminar la prueba?

Answer 1

Si quiere demostrar que $\lim_{x \to 0} \sqrt{1+x} = 1$ , es necesario: tomar $\epsilon > 0$ arbitrario y encontrar un $\delta > 0$ de manera que si $|x|<\delta$ entonces $|\sqrt{1+x} - 1| < \epsilon$ .

Una pista: La fórmula de la diferencia de cuadrados da $$ x = (1+x)-1 = [\sqrt{1+x}+1][\sqrt{1+x}-1]$$ así que $$ \big| \sqrt{1+x} - 1 \big| \leq \left| \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\right| = \frac{|x|}{\sqrt{1+x}+1}$$ Ahora, ¿puede continuar desde aquí ya que se le permite elegir $\delta$ y nota $|x|<\delta$ ?

Answer 2

Es necesario demostrar que para todos $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $$0<|x|<\delta \implies |\sqrt{x+1}-1|<\varepsilon.$$ En este caso es útil multiplicar por el conjugado de $\sqrt{x+1}-1$ que es $\sqrt{x+1}+1$ por lo que la desigualdad de la derecha se convierte en $$|\sqrt{x+1}-1|\cdot|\sqrt{x+1}+1|<\varepsilon(\sqrt{x+1} + 1)$$ $$|x|<\varepsilon(\sqrt{x+1}+1). \tag{1}$$

Ahora, si usted requiere que $0 < |x| < 1$ entonces sabemos que $0<\sqrt{x+1}<\sqrt{2}$ Así que $1<\sqrt{x+1} + 1<\sqrt{2}+1.$

Así que ahora sabemos que si requerimos $0 < |x| < 1$ entonces $(1)$ nos dice que $|x| < \varepsilon(\sqrt{2}+1)$ que también hemos demostrado que se puede reordenar en la forma $|\sqrt{x+1}-1| < \varepsilon.$

Por lo tanto, tomamos $\delta = \min\left(1,\ \varepsilon(\sqrt{2}+1)\ \right).$ Entonces, $$0<|x|<\delta \implies |\sqrt{x+1}-1|<\varepsilon$$ que es exactamente lo que queríamos mostrar.

Answer 3

Así que queda por demostrar que $\sqrt{4-(\epsilon + 1)^2} -1 > -\epsilon $ .
Tenga en cuenta que para el $\epsilon-\delta$ la prueba es suficiente para demostrar que $|x-1|\lt\delta\Rightarrow\ldots$ sólo para pequeño epsilones. En su caso podemos suponer, por tanto, que $\epsilon<\frac12$ . En ese caso tenemos que efectivamente $\sqrt{4-(\epsilon + 1)^2} -1 > -\epsilon $ ¡!