Límite de desviación grande para la norma cuadrada de la suma de dos variables aleatorias

Question

Quiero plantear esta pregunta lo más general posible y pedir referencias sobre qué hacer en situaciones similares. Incrementaré gradualmente los detalles para acotar el problema.

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Quiero derivar un límite de desviación grande para $\| X + Y \|_2^2$, donde $X$ y $Y$ son vectores dependientes de $p$ dimensiones; creo que en mi situación es imposible computar los cuantiles de $Z = \| X + Y \|_2^2$. Formalmente, quiero obtener algo como $$ \mathbb{P}( \| X + Y \|_2^2 > \lambda(x)) \le e^{-x}, $$ donde $\lambda(x)$ es una función determinística de $x$ y características de $X$ y $Y$.

¿Hay técnicas generales, enfoques o formas de pensar en esta situación más genérica?

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Detalle 1. Sé que $Y \sim \mathcal{N}(0, \mathbf\Sigma)$.

Detalle 2. Sé que $\mathbb{E} \| X \|_2^2 \le \Delta$, para un $\Delta$ fijo.

Detalle 3. Sé que la magnitud de $Y$ es mucho mayor que la de $X$, pero no puedo deducir formalmente la desigualdad mencionada anteriormente a algo similar a $$ \mathbb{P}(\| Y \|_2^2 \ge \lambda_Y(x)) \le e^{-x}. $$ Sin embargo, sé que $\lambda(x)$ debería ser grande solo debido a $Y$ y no a $X$.

Observa que si se permite que $\lambda(x)$ sea aleatorio, entonces la elección $\lambda(x) = \lambda_Y(x) + \| X \|_2 + 2X^\top Y$ funcionaría perfectamente.

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Agradecería cualquier idea, sugerencia y/o comentario.

Answer 1

Esto fue demasiado largo para un comentario, pero no es una respuesta.

Primero, a menos que tengas alguna escala LLN para $\lambda(x)^{-1}(\|X+Y\|^2)$, la teoría de grandes desviaciones me parece solo tangencialmente relacionada a través de las técnicas que utiliza. Si hay un LDP legítimo aquí, entonces una forma obvia de proceder es a través del principio de contracción usando algo como la transformación $T(x,y) = (x+y)^2$.

Luego, como señala PhoemueX, si sabes algo como $\|Y\| \geq \|X\|$ casi seguro, entonces la respuesta es bastante directa. Tendríamos, para cualquier $t>0$: \begin{align*} P(\|X+Y\|^2 \geq \lambda (x)) &= P(e^{t\|X+Y\|^2} \geq e^{t\lambda(x)}) \\ &\leq e^{-t\lambda(x)} E[e^{t(\|X\|^2+\|Y\|^2+2 X^T Y)}]\\ &= e^{-t\lambda(x)} E[e^{t(\|Y\|^2+\|Y\|^2+2 \|Y\|^2)}]\\ &= e^{-t\lambda(x)} E[e^{4t \|Y\|^2}]. \end{align*} Dado que $Y$ es un vector gaussiano con media cero y matriz de covarianza $\Sigma$, podemos identificar la distribución de la suma de cuadrados. Si por ejemplo, $\Sigma = I$ es diagonal, entonces $\|Y\|^2$ es $\chi^2$, y puedes evaluar la función generadora de momentos como $(1-2t)^{-p/2}$. Optimizando sobre $t>0$, obtendríamos: \begin{align*} P(\|X+Y\|^2 \geq \lambda (x)) &\leq \inf_{t>0} e^{-t\lambda(x)-(p/2)\log(1-2(4t))}, \end{align*} lo que equivale a optimizar $$\sup_{t>0} \bigg(\lambda(x) - \frac{p}{2} \log(1-8t)\bigg).$$ La notación $\asymp$ significa diferentes cosas dependiendo del contexto, así que debes aclarar. Si no tienes la desigualdad casi segura escrita arriba, entonces probablemente puedes usar alguna combinación de Jensen y Holder para obtener una desigualdad cruda que sea lo que deseas.