Función generadora de puntos de la red en una esfera

Question

Esta es una nota en Sedgewick's Combinatoria analítica : El número de puntos de la red con coordenadas enteras que pertenecen a la bola cerrada de radio n en el espacio euclidiano d-dimensional es $\displaystyle[z^{n^2}]\frac{1}{1-z}\Theta(z)^d$ donde $\displaystyle\Theta(z) = 1 + 2\sum_{k=1}^{\infty} z^{k^2}$ .

He tratado de averiguar por qué esto es cierto en vano - tal vez $\Theta$ cuenta el número de formas de colocar puntos en una bola unidimensional de radio $k^2$ y elevarlo a la $d$ cuenta el producto cruzado de todas las posibilidades? Todavía no sé dónde está el $\frac{1}{1-z}$ entra en juego. Se agradecerían mucho los consejos o las explicaciones.

Answer 1

El $z^m$ término en $\Theta(z)$ es el número de enteros cuyo cuadrado es exactamente $m$ . (Uno para $m=0$ y dos por cada cuadrado perfecto correspondiente a sus raíces positivas y negativas). Así que el $z^m$ término en $\Theta(z)^d$ es el número de $d$ -partidas de enteros cuya suma de cuadrados es exactamente $m$ . Ahora, multiplicando una serie de potencias por $1/(1-z)=1+z+z^2+z^3+\ldots$ hace lo siguiente: $$\frac{1}{1-z}\sum_m a_m z^m=\sum_m a_m \left(\sum_{k\ge 0}z^{k+m}\right)=\sum_m \left(\sum_{k\le m}a_{k}\right)z^m.$$ Así que el $z^m$ término en $\Theta^{d}/(1-z)$ es el número de $d$ -partidas de enteros cuya suma de cuadrados es no mayor que $m$ . Para la bola cerrada de radio $n$ , sustituyendo a $m$ por $n^2$ da el resultado deseado.