¿Cuál es la intersección de todos los Sylow $p$ -¿el normalizador del subgrupo?

Question

Intersección de todos los Sylow $p$ -se denota generalmente por $O_p(G)$ y es uno de los temas bien estudiados en la teoría de grupos ya que hay muchos teoremas relacionados con esto.

Dejemos que $R$ sea la intersección de todos los Sylow $p$ -el normalizador del subgrupo en $G$ . Es fácil observar que $R$ es un subgrupo característico de $G$ que contiene $O_p(G)$ . Me pregunto las propiedades de $R$ y su relación con $O_p(G)$ .

Si alguien puede encontrar u observar algo sobre $R$ Le estaría agradecido.

Answer 1

Como referencia, esto es lo que tenemos hasta ahora:

Dejemos que $G$ sea un grupo finito con Sylow $p$ -subgrupo $P$ y establecer $R= \bigcap N_G(P^g) = \bigcap N_G(P)^g$ para ser la intersección de la Sylow $p$ -normalizadores.

$R$ es un subgrupo importante, es el núcleo normal de $N_G(P)$ y el núcleo de la acción de permutación de $G$ en su Sylow $p$ -subgrupos. En particular, si uno quisiera organizar los grupos por la forma en que actúan en su Sylow $p$ -subgrupos, necesitaríamos dos invariantes: (1) un grupo de permutación transitiva cuyo estabilizador puntual es el normalizador de un Sylow $p$ -subgrupo, y (2) $R$ .

Considere $[P,R]$ . Desde $R$ normaliza $P$ obtenemos $[R,P] \leq P$ . Sin embargo, $R$ es a su vez un subgrupo normal (característico) de $G$ Así que $[R,P] \leq R$ también. En otras palabras $[R,P] \leq R \cap P$ .

Considere $R \cap P$ , a $p$ -subgrupo normalizando cada subgrupo Sylow $P^g$ . Desde $(R \cap P) P^g$ es un subgrupo, es un $p$ -subgrupo, por lo que en realidad es igual a $P^g$ ya que $P^g$ es máxima entre $p$ -subgrupos. Por lo tanto, $R \cap P \leq P^g$ para todos $g$ . Tomando la intersección obtenemos $R \cap P \leq O_p(G)$ . Desde $O_p(G)$ es un $p$ -subgrupo de $R$ contenida en $P$ también obtenemos $O_p(G) \leq R \cap P$ . Por lo tanto, $R \cap P = O_p(G)$ .

Para cualquier $G$ -subgrupo normal $X$ , $X \cap P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $X$ . Por lo tanto, $O_p(G)$ es una normal $p$ -subgrupo de $R$ . Por Schur-Zassenhaus $R=Q \ltimes O_p(G)$ para algunos $p'$ -subgrupo $Q$ . Desde $[Q,P] \leq R\cap P = O_p(G)$ , obtenemos que $Q$ centraliza $P/O_p(G)$ pero $Q$ no es necesario centralizar $O_p(G)$ para que no centralice toda la $P$ .

De hecho, creo que una de las primeras cosas que hay que decidir es la diferencia $R$ es de $Z=\bigcap C_G(P^g) = \bigcap C_G(P)^g$ . Cuando $O_p(G)=1$ obtenemos $R=Z$ para que $Q \leq Z$ .

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Un estudio de los grupos pequeños (en curso) revela una variedad de estructuras de $R/Z$ :

Entre las clases de isomorfismo de los grupos $G$ avec $|G|\leq 1000$ y la acción de conjugación de $G$ en sus subgrupos Sylow 3 isomorfos a $A_4$ La acción de la empresa, los cocientes $R/Z$ se producen con las siguientes frecuencias:

• $R=Z$ , 1705 veces
• $[R:Z] = 2$ , 199 veces
• $[R:Z] = 3$ , 115 veces
• $R/Z \cong C_4$ 5 veces
• $R/Z \cong C_2 \times C_2$ 13 veces
• $R/Z \cong S_3$ 49 veces
• $R/Z \cong C_6$ 3 veces
• $R/Z \cong C_8$ 1 vez
• $R/Z \cong D_8$ 1 vez
• $R/Z \cong Q_8$ 1 vez
• $R/Z \cong C_3 \times C_3$ , 151 veces
• $R/Z \cong C_3 \times S_3$ 2 veces
• $R/Z \cong \operatorname{Dih}(C_3 \times C_3)$ 17 veces
• $R/Z \cong C_3 \ltimes C_9$ 9 veces
• $R/Z \cong C_3 \ltimes (C_3 \times C_3)$ 26 veces
• $R/Z \cong C_3 \times C_3 \times C_3$ 21 veces
• $R/Z \cong \operatorname{Dih}(C_3 \times C_3 \times C_3)$ 1 vez

Answer 2

Sobre la incrustación de $R$ en $G$ :

$R$ es similar a $O_p(G)$ y es un hecho bastante conveniente que $O_p(G) = P \cap P^g$ para dos Sylow $p$ -subgrupos de $G$ para muchos $G$ (por ejemplo $G$ con Sylow abeliana $p$ -subgrupos de Brodkey (1963), o $G$ $p$ -soluble para $p>2$ de Itô (1958) y Robinson (1984)), y $O_p(G) = P \cap P^g \cap P^h$ para todo lo que es finito $G$ de Mazurov-Zenkov (1995). En otras palabras, la intersección de todos los Sylow $p$ -es también la intersección de unos cuantos Sylow bien elegidos $p$ -subgrupos.

$R$ es la intersección de todos los Sylow $p$ -normalizadores, por lo que es una pregunta razonable si $R$ es la intersección de unos pocos Sylow $p$ -normalizadores.

El límite específico de Itô de 2 no es suficiente para $R$ : Dejemos que $G_1= \operatorname{GL}(2,2) \times \operatorname{GL}(2,2)$ , $V= \operatorname{GF}(2)^4$ su módulo natural, y $G=G_1 \ltimes V$ sea el grupo afín asociado. Entonces la acción natural de $G$ (con $V$ un subgrupo normal regular) es también la acción de $G$ por conjugación en sus 3-subgrupos de Sylow. Por Itô (1958), $O_p(G)$ es la intersección de dos de sus Sylow $3$ -pero un cálculo directo muestra que $R$ no es la intersección de dos Sylow $3$ -normalizadores (pero es la intersección de 3).

Hay otros 6 ejemplos con un comportamiento muy similar ( $p$ impar, $G$ es $p$ - solucionable, $R$ es la intersección de tres pero no de dos Sylow $p$ -normalizadores; en cada caso $p=3$ y $G$ es realmente solucionable).

El límite de Brodkey de $2$ tampoco es suficiente para $R$ : dejar $G=A_5 \times D_{10}$ actuando en su Sylow $2$ -subgrupos (no su acción natural). Entonces $O_p(G)$ s igual a la intersección de ( cualquier ) dos Sylow $2$ -subgrupos, pero de nuevo $R$ requiere tres Sylow $2$ -normalizadores. Hay otros cuatro ejemplos de $G$ con menos de 30 Sylow $2$ -subgrupos, todos ellos abelianos, pero cuyo $R$ no es la intersección de dos Sylow cualquiera $2$ -normalizadores; en cada caso $R$ es la intersección de tres Sylow $2$ -normalizadores.

Bibliografía

• Itô, Noboru Über den kleinsten p-Durchschnitt auflösbarer Gruppen. Arch. Math. (Basel) 9 (1958) 27-32. MR 131455 DOI: 10.1007/BF02287057
• Brodkey, Jerald S. "Una nota sobre grupos finitos con un grupo Sylow abeliano". Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963) 132-133. MR 142631 DOI: 10.2307/2033973
• Robinson, Geoffrey R. "Sobre las intersecciones de Sylow en grupos finitos". Proc. Amer. Math. Soc. 90 (1984), no. 1, 21-24. MR 722407 DOI: 10.2307/2044660
• Mazurov, V. D.; Zenkov, V. I. "Intersecciones de subgrupos Sylow en grupos finitos". El atlas de los grupos finitos: diez años después (Birmingham, 1995) , 191-197, Matemáticas de Londres. Soc. Lecture Note Ser., 249, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998. MR 1647422 DOI: 10.1017/CBO9780511565830.019

Answer 3

$R_p(G)$ es $p$ -soluble, pero para cada primo impar $p$ existe un grupo finito $G$ tal que $R_p(G)$ no tiene solución.

Consideramos las propiedades de solvencia de $R_p(G) = \bigcap\{ N_G(P^g) : g \in G \}$ où $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ . Por la respuesta anterior, $R_p(G) = Q \ltimes O_p(G)$ es $p$ -cerrado, así que definitivamente $p$ -soluble ( $p$ -longitud 1, par).

Si $p=2$ entonces claramente $R_2(G)$ es resoluble por el teorema de orden impar de Feit-Thompson. En los casos en que $|G|\leq 1000$ , $R_p(G)$ es siempre solucionable. Sin embargo, en general esto no tiene por qué ser cierto, ya que podemos tomar $R_p(G) = G$ tomando cualquier $G$ con un Sylow normal $p$ -subgrupo. Cualquier grupo de este tipo es $p$ -soluble, pero no tiene por qué serlo. Por ejemplo $G=A_5 \times C_7$ y $p=7$ funciona.

Un ejemplo un poco menos trivial (el ejemplo más pequeño de hecho) es $G=A_5 \times \operatorname{GL}(3,2)$ avec $p=5$ o $p=7$ y $R_p(G)$ es el factor directo coprimo. El siguiente ejemplo perfecto más pequeño es $G=\operatorname{SL}(2,5) \ltimes \operatorname{GF}(11)^2$ avec $p=11$ y luego $O_p(G)=P=Z:=\bigcap\{ C_G(P^g) : g \in G\}$ es un Sylow $p$ -subgrupo, y $R_p(G)/O_p(G)=\operatorname{SL}(2,5)$ es $11$ -soluble (siendo de orden coprimo a 11) pero no soluble.