Encontrar la altura máxima desde la que se puede dejar caer una bola y seguir chocando con otra lanzada por debajo

Question

No necesito necesariamente una respuesta concreta, pero me vendría bien una pista, una orientación o quizá algún material de lectura.

La pregunta dice:

Una pelota de goma sale disparada hacia arriba desde el suelo con velocidad $V(0)$ . Simultáneamente, una segunda bola de goma a la altura $h$ está directamente encima de la primera bola que se deja caer desde el reposo.

a) A qué altura del suelo chocan ambas bolas. Tu respuesta será una expresión algebraica en términos de $h$ , $V(0)$ y $g$ .

b) ¿Cuál es el valor máximo de $h$ para el que se produce una colisión antes de que la primera bola caiga al suelo?

c) ¿Para qué valor de $h$ ¿se produce la colisión en el instante en que la primera bola está en su punto más alto?

He resuelto A y he encontrado que la respuesta es: $$d = h - \frac{gh}{2V(0)}$$ EDIT: Después de rehacer el problema, la respuesta resulta ser: $$d=h-\frac{gh^2}{2V(0)^2}$$ Creo que esto es correcto, pero estoy completamente perplejo en las preguntas b y c.

EDIT: Tampoco estoy seguro de si $h$ se supone que representa la altura a la que comienza la segunda bola o la distancia entre las bolas en un momento dado. Parece que no he resuelto correctamente la primera parte, así que publicaré mi trabajo al respecto:

He introducido las variables que he recibido en la función:

$$\text{Distance} = d_0 + V_0 + \frac{1}{2}at^2$$

(donde $d_0$ es la distancia inicial, $V_0$ es la velocidad inicial, $a$ es la aceleración, $t$ es el tiempo), para describir las funciones de posición de las dos bolas como

$$d_0 = V(0)t - \frac{1}{2}gt^2$$

$$d_1 = h - \frac{1}{2}gt^2$$

He puesto $d_0 = d_1$ pero no estoy seguro de lo que debería resolver. Puedo resolverlo como:

$$V(0)t = h$$

Pero no puedo encontrar ningún tipo de uso para esto.

Answer 1

(a) Supongo que has abordado el problema más o menos así.

Que el nivel del suelo sea $0$ y que la dirección "arriba" sea positiva. Si $U(t)$ es el desplazamiento en el momento $t$ de la pelota que fue lanzada hacia arriba, entonces $$U(t)=V_0t -\frac{1}{2}gt^2,$$ hasta que el balón vuelva al suelo. Si $D(t)$ es el desplazamiento en el momento $t$ de la bola que se dejó caer, entonces $$D(t)=h-\frac{1}{2}gt^2.$$ Sin preocuparse aún por los valores excesivamente grandes de $t$ donde las ecuaciones no se aplican, podemos establecer $U(t)=D(t)$ . Después de simplificar, obtenemos una ecuación muy bonita. resolver para $t$ y sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar la altura de colisión.

(b) La primera bola vuelve al suelo en el momento $t=\dfrac{2V_0}{g}$ . El problema nos pide la altura máxima $h$ para que las dos bolas choquen antes de el primero golpea el suelo. Técnicamente no existe tal altura máxima. Pero podemos encontrar la $h$ para que choquen exactamente cuando el primero (y el segundo) toca el suelo. Sólo hay que poner el $t$ que has encontrado en la parte (a) igual a $\dfrac{2V_0}{g}$ .

(c) La pelota lanzada hacia arriba alcanza su punto más alto en $t=\dfrac{V_0}{g}$ . Aparte de eso, es el mismo cálculo que en (b).

Answer 2

En primer lugar, compruebe su respuesta. Dimensionalmente, no tiene sentido. $gh/v_0$ no tiene dimensiones de longitud.

A continuación, se encuentra que chocan a cierta altura $d$ y el problema requiere que $d\ge 0$ . Esta desigualdad se resuelve para ciertos valores de $h$ .