Encontrar todos los puntos en los que una función no es diferenciable

Question

Dejemos que $f\left( x \right)$ sea una función diferenciable $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ . Encuentra todos los puntos en los que la función $\left| f\left( x \right) \right|$ no es diferenciable. Por supuesto, entiendo que $\left| f\left( x \right) \right|$ no es diferenciable cuando su gráfica tiene una esquina debido al módulo, por ejemplo, ${{\delta }_{+}}f\left( a \right)+{{\delta }_{-}}f\left( a \right)=0$ . Obviamente, sólo es posible cuando $f\left( x \right)$ cambia su signo ya que $f\left( x \right)$ es una función diferenciable. ¿Hay alguna manera de escribir esta idea informal de una manera más formal?

Answer 1

Si $f(x) >0$ entonces $f>0$ en algún intervalo abierto $(x-r,x+r)$ (por continuidad) por lo que $|f|=f$ en este inetrval y así $|f|$ es diferenciable en $x$ . De la misma manera, $f(x) <0$ el $|f|$ es diferenciable en $x$ . Pero si $f(x)=0$ no podemos decir si $f$ es diferenciable o no en $x$ : Si $f=0$ el $|f|$ es diferenciable en todos los puntos pero si $f(x)=x$ entonces $|f|$ no es diferenciable en $0$ . Si $f(x)=0$ entonces $f$ es diferenciable en $x$ si $f(y)=o(y-x)$ como $ y \to x$ .

Answer 2

El conjunto de puntos en los que $|f(x)|$ no es diferenciable es

$$\left\{a\in\mathbb{R}\left|\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a} \text{ exists and is nonzero}\right.\right\}$$

Answer 3

$|f(x)|$ no es diferenciable cuando ambos $f(x)=0$ y $f’(x)\neq 0$ . La segunda parte es necesaria debido a funciones como $x^3$ y no hay que comprobar si cambia de signo porque la única manera de que un cero de una función diferenciable no cambie de signo es que la diferencial también sea 0.