¿Cómo encontrar todas las soluciones para $x^3=6x+6$

Question

¿Podría alguien ayudarme a encontrar cómo encontrar todas las soluciones para $x^3=6x+6$?

Answer 1

Utiliza el método de Cardano:

Sea $y=u+v$. Como tienes dos incógnitas en lugar de una, puedes añadir una restricción en $u,v$, para simplificar la ecuación. Esta ecuación se convierte en $$(u+v)^3-6(u+v)-6=u^3+v^3+(u+v)(3uv-6)-6=0.$$ Añadiendo la condición $3uv=6$, es decir, $uv=2$, obtienes la ecuación $u^3+v^3-6=0$, de donde el sistema $$\begin{cases}u^3+v^3=6\\u^3v^3=8\end{cases}\iff u^3, v^3\;\text{ son las raíces de la ecuación cuadrática}\quad t^2-6t+8=0.$$ Ahora $t^2-6t+8=(t-3)^2-9+8$, así que $u^3, v^3=3\pm1=2,4$ y finalmente $$u,v=\sqrt[3]{2},\; \sqrt[3]{4},\enspace\text{de donde}\quad y=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}.$$

Answer 2

Establecemos $x=ay$; la ecuación se convierte en $a^3y^3-6ay=6$. Queremos que $$ \frac{a^3}{6a}=\frac{4}{3} $$ para que podamos tomar $a=2\sqrt{2}$. Entonces tenemos $$ 16\sqrt{2}y^3-12\sqrt{2}y=6 $$ que se convierte en $$ 4y^3-3y=\frac{3}{4}\sqrt{2}>1 $$ Ahora establecemos $y=\cosh z$, por lo que la ecuación se convierte en $$ 4\cosh^3z-3\cosh z=\frac{3}{4}\sqrt{2} $$ que es, $$ \cosh3z=\frac{3}{4}\sqrt{2} $$ Ahora resolvemos $$ e^{3z}+e^{-3z}=\frac{3}{2}\sqrt{2} $$ y obtendrás $z$ y así $y$ y finalmente $x$.