Progresión aritmética con diferencia común 2061

Question

Si hay 30 consecuentes de una progresión aritmética con CD de 2061, demuestre que entre ellos hay a lo sumo 20 cuadrados de números naturales.

Escribí $a_1$ a través de $a_{30}$ y traté de encontrar algunos patrones. Tal vez es comprobar los módulos, entonces ¿cuáles? ¿Cómo se hace? Se agradecería la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\{a_k\}_{k=1}^{30}$ sea su progresión aritmética y suponga $a_k=y_k^2,\,\forall k.$
Considere esta ecuación $$y_{k+2}^2-y_k^2=2\times 2061$$ $$(y_{k+2}-y_k)(y_{k+2}+y_k)=2\times 3^2\times 229.$$ Si $y_{k+2}, y_k$ son enteros, deben tener la misma paridad. En caso contrario, $y_{k+2}^2-y_k^2$ convertirse en un número entero de impar.
Si ambos son pares $y_{k+2}^2-y_k^2$ es divisible por $4.$
Si ambos son impar $y_{k+2}^2-y_k^2$ es divisible por $8.$
Por lo tanto, $y_{k+2}^2-y_k^2=2\times 2061$ no tiene soluciones enteras.

Por lo tanto, considere cómo ese cuadrado perfecto puede poner en su progresión.

Su te doy una posible progresión que contiene $16$ cuadrados perfectos, $$y_1^2, y_2^2 ,.., ..,y_5^2, y_6^2 ,.., ..,y_9^2, y_{10}^2,.., ..,y_{13}^2, \\y_{14}^2 ,.., ..,y_{17}^2,y_{18}^2,.., ..,y_{21}^2,y_{22}^2,.., ..,y_{25}^2,y_{26}^2,.., ..,y_{29}^2,y_{30}^2.$$

Considera todas estas posibles progresiones. Entonces tienes la respuesta.