¿Es la suma de dos movimientos brownianos siempre una martingala, incluso si los dos están posiblemente correlacionados?

Question

¿Es la suma de dos movimientos brownianos siempre una martingala, incluso si los dos están posiblemente correlacionados?

No estoy seguro, porque en Internet no he podido encontrar la respuesta concreta. Entiendo que la correlación juega un papel, pero no estoy seguro de cómo.

EDIT: Gracias a quien responda. Sin embargo, a veces encuentro la falta de simpatía en esta plataforma un poco inquietante. Pensaba que este era un lugar en el que cualquier estudiante podía hacer una pregunta, por sencilla que fuera, pero a menudo recibo respuestas arrogantes y de nula ayuda.

Además, prefiero no compartir las preguntas completas, por razones que ustedes mismos pueden deducir. Sólo sé que tengo dos movimientos brownianos que pueden o no estar correlacionados, y me piden que diga si su suma es siempre martingala o si necesariamente tienen que ser independientes/no correlacionados. Espero que esto lo aclare.

Answer 1

Interpreto que la pregunta significa: Si $\{B(t)\}$ y $\{W(t)\}$ son dos movimientos brownianos definidos en el mismo espacio de probabilidad, es $\{B(t)+W(t)\}$ necesariamente una martingala aunque $B$ y $W$ son dependientes?

Si se asume que $B$ y $W$ son ambos adaptados y satisfacen la propiedad Martingale con respecto a la misma filtración $({\mathcal F}_t)$ es decir, $$\forall s>t, \quad E[B(s)| {\mathcal F}_t]=B(t) \,,$$ $$\forall s>t, \quad E[W(s)| {\mathcal F}_t]=W(t) \,,$$ entonces la respuesta es positiva a partir de las definiciones.

Sin alguna suposición sobre la dependencia de $B$ y $W$ la respuesta es negativa. Sea $B$ sea un movimiento browniano estándar, y recordemos que $E[B(1) | B(2)]= B(2)/2.$

Definir un segundo movimiento browniano por $W(t)=B(t+1)-B(1)$ y que $Z(t)=B(t)+W(t)$ Así que $Z(1)=B(2)$ . Entonces $$E[Z(2)-Z(1)|Z(1)]=E[B(3)-B(1) | B(2)]= B(2)-B(2)/2=B(2)/2 \,,$$ así que $Z$ no es una Martingala.