Estoy leyendo Funciones de una variable compleja por Conway y tengo problemas para entender la prueba de este teorema
Teorema: Si $\gamma$ es suave a trozos y $f:[a, b] \to \mathbb{C}$ es continua, entonces
$$\int_a^b f d \gamma = \int_a^b f(t) \gamma'(t) dt$$
Prueba: De nuevo, sólo consideramos el caso en el que $\gamma$ es suave. Además, al observar las partes reales e imaginarias de $\gamma$ reducimos la prueba del caso en que $\gamma([a, b]) \subset \mathbb{R}$ . Dejemos que $\epsilon>0$ y elija $\delta>0$ de manera que si $P = \{ a=t_0< \ldots < t_n=b \}$ tiene $||P||< \delta$ entonces
$$\left| \int_a^b f d \gamma - \sum_{k=1}^n f( \tau_k)[\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})] \right| < \dfrac 12 \epsilon$$
y
$$\left| \int_a^b f(t) \gamma'(t) dt - \sum_{k=1}^n f( \tau_k)\gamma'(\tau_k)(t_k - t_{k-1})\right| < \dfrac 12 \epsilon$$
para cualquier elección de $\tau_k$ en $[t_{k-1}, t_k]$ .
[La prueba continúa a partir de aquí]
No entiendo la parte en negrita. Lo único que se me ocurre es $$\int_a^b f d \gamma = \int_a^b fd(\Re(\gamma) + i \Im (\gamma))$$
Entonces, si igualamos esto con la parte real en el lado derecho, tendríamos que demostrar que
$$\int_a^b f d \Re (\gamma) = \int_a^b \Re(f \gamma')(t)$$
Sin embargo, a tenor de las sumas que se manejan, no creo que esto sea lo que ocurre. ¿Puede alguien aclararlo, por favor? Gracias.
Definición: Por cierto, la definición que Conway da de $\int_a^b f d\gamma$ es:
Si $f:[a, b] \to \mathbb{C}$ es continua y $\gamma:[a, b] \to \mathbb{C}$ entonces $\int_a^b f d\gamma$ es el número complejo $I$ que satisface: $\forall (\epsilon>0) \exists (\delta>0)$ tal que para todas las particiones $P = {a = t_0< \ldots t_n = b}$ con $||P||< \delta$ tenemos
$$\left|I - \sum_{i=1}^n f( \tau_i )(\gamma(t_i) - \gamma (t_{i-1})) \right|<\epsilon$$
