Sé que hubo una pregunta sobre buenos libros de geometría algebraica aquí antes, pero no parece abordar mis preocupaciones específicas.
** Pregunta **
¿Hay alguna introducción bien motivada a la teoría de esquemas?
Mi idea de lo que significa "bien motivado" es lo suficientemente específica como para pensar que merece un ejemplo detallado.
** Ejemplo de lo que entiendo por bien motivado **
Los únicos libros de geometría algebraica que he visto que cubren los esquemas parecen dejar de lado la motivación esencial de las definiciones. Como caso de prueba, mira la definición de Hartshorne de un morfismo separado:
Dejemos que $f:X \rightarrow Y$ sea un morfismo de esquemas. El morfismo diagonal es el único morfismo $\Delta: X \rightarrow X \times_Y X$ cuya composición con ambos mapas de proyección $\rho_1,\rho_2: X \times_Y X \rightarrow X$ es el mapa de identidad de $X$ . Decimos que el morfismo $f$ está separado si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada.
Hartshorne se refiere vagamente al hecho de que esto corresponde a una especie de condición "Hausdorff" para los esquemas, y luego da un ejemplo en el que esto parece coincidir con nuestra intuición. Hay (al menos para mí) poca motivación de por qué alguien habría hecho esta definición en primer lugar.
En este caso, y sospecho que en muchos otros casos de la geometría algebraica, creo que la definición surgió en realidad al tomar una idea topológica o geométrica, traducir el enunciado en uno que sólo depende de los morfismos (un enunciado más teórico de la categoría), y luego utilizar esta nueva definición para los esquemas.
Por ejemplo, traduciendo la definición de un morfismo separado a una para espacios topológicos, es fácil ver por qué alguien habría hecho la definición original. Utilice la misma definición, pero diga espacios topológicos en lugar de esquemas, y diga "la imagen es cerrada" en lugar de inmersión cerrada, es decir
Dejemos que $f:X \rightarrow Y$ sea un morfismo de espacios topológicos. El morfismo diagonal es el único morfismo $\Delta: X \rightarrow X \times_Y X$ cuya composición con ambos mapas de proyección $\rho_1,\rho_2: X \times_Y X \rightarrow X$ es el mapa de identidad de $X$ . Decimos que el morfismo $f$ está separada si la imagen del morfismo diagonal es cerrada.
Después de desempacar un poco esta definición, vemos que un morfismo $f$ de espacios topológicos está separado si dos puntos distintos cualesquiera que se identifican por $f$ pueden estar separados por conjuntos abiertos disjuntos en $X$ . Un espacio $X$ es Hausdorff si el morfismo único $X \rightarrow 1$ se separa.
Así que aquí, la definición topológica de morfismo separado parece la forma más natural de dar a un morfismo una propiedad del tipo "Hausdorff", y traducirla con sólo unos pequeños retoques nos da la "noción correcta" para los esquemas.
¿Hay algún libro que haga este tipo de cosas para el resto de la teoría de esquemas?
¿Se espera que la gente haga este tipo de analogías por su cuenta, o que las deduzca de sus profesores?
No estoy del todo seguro de qué tipo de posts deberían ser wiki de la comunidad, ¿es éste uno de ellos?
