¿Cuántos números de cinco dígitos divisibles por $3$ se pueden formar usando los dígitos $0,1,2,3,4,7$ y $8$ si cada dígito se debe usar como máximo una vez?

Question

¿Cuántos números de cinco dígitos divisibles por $3$ se pueden formar usando los dígitos $0,1,2,3,4,7$ y $8$ si cada dígito se va a usar a lo sumo una vez?

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El número total de números de $5$ dígitos usando los dígitos $0,1,2,3,4,7$ y $8$ es $6\times6\times5\times4\times3=2160.$

Ahora encontré los números no divisibles por $3$, es decir, números pares terminados en $2,4,8$.

Los números pares de los dígitos $0,1,2,3,4,7$ y $8$ son $5\times5\times4\times3\times3=930.$

Entonces los números divisibles por $3$ son $2160-930=1230$ pero la respuesta es $744.$ ¿Dónde me equivoqué?

Answer 1

Estás equivocado al asumir que los números pares no pueden ser divisibles por 3. Como ejemplo contrario, 6 es divisible por 3.

La regla de divisibilidad por 3 establece que si la suma de los dígitos del número es divisible por 3, el número en sí es divisible por 3.

De los siete dígitos dados, necesitas encontrar grupos de 5 para los cuales la suma sea divisible por 3. Por ejemplo, $(1, 2, 3, 4, 8)$ es un grupo así. Para cada grupo así, necesitas encontrar el número de números de 5 dígitos que se pueden formar y obtener el total.

Answer 2

Los números que son divisibles por $3$ son aquellos en los que la suma de los dígitos es un múltiplo de $3$; no importa cuál sea el último dígito. Entonces, ¿cuáles conjuntos de $5$ dígitos son posibles? Una vez que sepas todos estos, puedes usar tu método anterior para decir cuántos números contienen cada conjunto de $5$.

Answer 3

Solución

Tenemos que hacer números de $5$ dígitos usando $7$ dígitos dados excluyendo $2$ dígitos cada vez. Ahora, $0+1+2+3+4+7+8=25$. Como $25 \pmod 3 \equiv 1$, los pares a excluir deben tener su suma $\mod 3=1$. No es difícil encontrar tales pares. Sin mucho problema, obtenemos: $$(0,1),(0,4),(0,7),(1,3),(2,8),(3,4),(3,7).$$ Así, hay $7$ de esos pares y por lo tanto $7$ grupos de números de $5$ dígitos.

Ahora, encontramos que de los $7$ grupos, $4$ grupos tienen un $0$ lo cual no está permitido en el quinto lugar (de lo contrario se formará un número de $4$ dígitos). El total de números formados por estos $4$ grupos es $=4(5!−4!)=384$.

Los otros $3$ grupos no tienen ceros, así que el total de números formados por ellos es $=3(5!)=360$

Total de números posibles: $384+360=744$

Answer 4

Supongamos $a_1+\cdots+a_n=0\ (\text{mod}\ 3)$. Entonces el número $p:=|\{a_i:a_i=1\}|-|\{a_i:a_i=2\}|$ es divisible por $3$. Esto se debe a que $1+2=0\ (\text{mod}\ 3)$, entonces después de que los $1$s y $2$s se cancelen entre sí, los números no nulos restantes deben sumar $0$ módulo $3$. Cualquier elemento no nulo en $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ tiene orden $3$, entonces la afirmación está probada.

Sea $D=\{0,1,2,3,4,7,8\}$. Módulo $3$, los dígitos permitidos $D$ se convierten en $S:=\{0,1,2,0,1,1,2\}$ (como un multiconjunto). Ahora supongamos que $n=5$ y $a_i\in S$. Nota que $p\ge 0$ porque la cantidad de $1$s en $S$ es mayor que la cantidad de $2$s en $S$. Además, $p\le 3$ porque hay tres $1$s en $S$. Entonces $p=3$ o $p=0$.

Supongamos que $p=3$. Entonces no podemos elegir ningún $2$ en $S$, por lo que estamos obligados a elegir los $5$ dígitos restantes en $D$. Hay $4$ dígitos en $D$ que se pueden colocar en el primer lugar. Todos los dígitos restantes se pueden colocar libremente en los lugares restantes. Por lo tanto, la cantidad de números de $5$ dígitos deseados cuando $p=3$ es $4\cdot 4!=96$.

Supongamos que $p=0$. Entonces debemos elegir dos $1$s y dos $2$s en $S$, o de lo contrario la cantidad de dígitos elegidos no puede sumar $5$. Tenemos $3$ opciones para los dos $1$s y $2$ opciones para el $0$. Si elegimos $3$ en $D$, entonces todos los dígitos se pueden colocar en todos los lugares, entonces la cantidad de números deseados cuando $p=0$ y se elige $3$ es $3\cdot 5!$. Si elegimos $0$ en $D$, entonces es similar al párrafo anterior, y la cantidad de números deseados cuando $p=0$ y se elige $0$ es $3\cdot 4\cdot 4!$.

En resumen, la respuesta es $4\cdot 4!+3\cdot (5!+4\cdot 4!)=744$.