Ejercicio 4.30 de Eisenbud

Question

Estoy haciendo el ejercicio 4.30 de Eisenbud's Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica que adjunto aquí:

Ejercicio 4.30: Supongamos que $k$ es un anillo noetheriano y para cada uno de los anillos finitamente generados $k$ - álgebra y el ideal máximo $P \subset R$ el $k$ - es un álgebra finita sobre $k$ . Demuestre que toda reducción finitamente generada $k$ - álgebra $R$ es tal que dado cualquier ideal primo $Q \subseteq R$ tenemos $$Q = \bigcap P$$ donde la intersección pasa por todos los primos $P$ de $R$ tal que $R/P$ es finito como módulo sobre $k$ .

Observamos que esto, en consecuencia, hace que tal $R$ es un anillo de Jacobson. La definición de un anillo de Jacobson dada en Eisenbud es que todo ideal primo es una intersección de ideales máximos. Necesariamente, necesitamos cada uno de estos $P$ para contener $Q$ para que $Q \subseteq P$ . Ahora Eisenbud da una pista para la inclusión inversa:

Una pista: Si $f \in R$ y $f \notin Q$ debemos encontrar un primo $P$ tal que $R/P$ es finito sobre $k$ y $f \notin P$ . Consideremos un ideal máximo en el $k$ - álgebra $R_f$ y su intersección con $R$ .

Ahora entiendo un poco la insinuación de Eisenbud: Si elegimos un ideal máximo $\mathfrak{m}$ en $R_{f}$ entonces la "contracción" de ese ideal máximo en $R$ es primo. Como tenemos "inclusiones"

$$k \hookrightarrow R/(\mathfrak{m} \cap R) \hookrightarrow R_f/\mathfrak{m}$$

y $R_f/\mathfrak{m}$ es finito como módulo sobre $k$ , entonces necesariamente también lo es $R/(\mathfrak{m} \cap R)$ porque $k$ es noetheriano.

Mi problema es: No se garantiza que el homomorfismo de anillo $R \to R_f$ que mapea $x$ a $x/1$ es inyectiva. Entonces, ¿cómo podemos incrustar $R$ dentro de $R_f$ por lo que tiene sentido tomar la intersección de $\mathfrak{m}$ con $R$ ?

Gracias.

Answer 1

¿Por qué necesita $R\to R_f$ para ser una inclusión? El homomorfismo de anillo $R\to R_f$ da lugar a una inclusión $$R/(\mathfrak{m} \cap R) \hookrightarrow R_f/\mathfrak{m}$$ y esto es todo lo que necesitas. (Aquí $\mathfrak{m} \cap R$ denota la contracción de $\mathfrak m$ a $R$ .)

Actualización. La OP preguntaba por qué $\mathfrak m\cap R$ contiene $Q$ . Esto también es fácil de hacer: tomar $\mathfrak m$ en $R_f$ un ideal máximo que contiene $Q_f$ .

Observación. No creo que $k$ noetheriano es realmente necesario: tenemos $$k\to R/(\mathfrak{m} \cap R) \hookrightarrow R_f/\mathfrak{m}$$ y $R_f/\mathfrak{m}$ es finito como módulo sobre $k$ . Esto demuestra que $$R/(\mathfrak{m} \cap R) \hookrightarrow R_f/\mathfrak{m}$$ es finito. Como $R_f/\mathfrak{m}$ es un campo, también lo es $R/(\mathfrak{m} \cap R)$ y por lo tanto $\mathfrak m\cap R$ es máxima. Entonces $R/(\mathfrak{m} \cap R)$ finito como módulo sobre $k$ .