Convergencia de $x_n=f\left(\frac{1}{n}\right), n\geq 1$

Question

Tengo que resolver el siguiente problema:

Dejemos que $f:]0,1[ \rightarrow R$ sea una función diferenciable sobre $]0,1[$ con $|f'(x)|\leq 1, \forall x \in ]0,1[$ .

(a) Demuestre que la secuencia $x_n=f\left(\frac{1}{n}\right), n\geq 1$ es convergente.

(b) ¿El límite $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)$ ¿Existe?

Creo que el Teorema del Valor Medio puede ser útil, pero no veo cómo.

Answer 1

Según el MVT, si $m > n$ entonces existe un punto $\xi \in (1/m,1/n) \subset (0,1)$ tal que

$$|f(1/m) - f(1/n)| = |f'(\xi)||1/m - 1/n| \leqslant \frac{|m-n|}{mn} = \frac1{n}(1 - n/m) < \frac1{n}.$$

Para todos $m > n> 1/\epsilon,$ tenemos

$$|f(1/m) - f(1/n)| < \epsilon.$$

Por lo tanto, $f(1/n)$ es una sucesión de Cauchy y, por tanto, convergente.

Para la parte (b), existe para todo $x,y \in (0,1)$ un punto $\xi$ entre $x$ y $y$ tal que

$$|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)||x-y| \leqslant |x-y|.$$

Desde $\lim_{n \to \infty} f(1/n) = L$ existe, para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ de manera que ambos $1/N < \epsilon/2$ y $|f(1/N) - L| < \epsilon/2.$

Por lo tanto,

$$|f(x) - L| \leqslant |f(1/N) - L| + |f(x) - f(1/N)| \leqslant \epsilon/2 + |x - 1/N|.$$

Si $0 < x < 1/N,$ entonces $|x - 1/N| < 1/N < \epsilon/2$ y

$$|f(x) - L| < \epsilon. $$

Por lo tanto,

$$\lim_{x \to 0}f(x) = \lim_{n \to \infty}f(1/n) = L.$$