Forma alternativa de mostrar $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en un intervalo cerrado fijo

Question

Deseamos mostrar $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en $[a,b]$ . Esta es la forma en que lo hice, pero es diferente de cómo se "supone" que se debe hacer. Por lo tanto, naturalmente, tengo algunas dudas y así que aquí estoy.

En primer lugar, quiero demostrar que es continua en cada punto $x_0$ en su dominio (en general, para el conjunto $\mathbb{R}$ ). Esto es para que tenga algo de $\delta$ para trabajar. Así que para $|x - x_0| < \delta$

$|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0||(x-x_0) + 2x_0| |x - x_0|(|x-x_0| + 2|x_0|) < \delta(\delta + 2|x_0|) = \epsilon$

lo que está claro si elegimos $\delta = \sqrt{\epsilon + |x_{0}|^2} - |x_{0}|$

Ahora, demostramos que es uniformemente continua. Fijemos algún $\epsilon > 0$ . Tenga en cuenta que $f(x) = \sqrt{\epsilon + x^2} - x$ es monótonamente decreciente para $x>0$ y se fijó $\epsilon > 0$ (esto se demuestra fácilmente diferenciando). O bien tenemos $|a| > |b|$ o $|a| |b|$ . En cualquier caso, está bastante claro que para todos los $x_0 \in [a,b]$ , $|x_0| < \max(|a|, |b|)$ .

Si es el primer caso, podemos establecer $\delta = \sqrt{\epsilon + |a|^2} - |a|$ como el módulo de continuidad uniforme, ya que es suficientemente pequeño (en particular, es menor que $\sqrt{\epsilon + |x_{0}|^2} - |x_{0}|$ para $x_0 \in (a,b]$ ) y en el segundo, de forma similar, podemos establecer $\delta = \sqrt{\epsilon + |b|^2} - |b|$ .

Answer 1

Podemos demostrar directamente la continuidad uniforme de $f$ utilizando el hecho de que alcanza un máximo en un intervalo cerrado. Sea $M = \text{max}(|f(x)|: x \in [a,b]) > 0$ y que $\epsilon > 0$ sea cualquier número real positivo, entonces elija $\delta = \dfrac{\epsilon}{2M} > 0$ por lo que para cualquier $x,y \in [a,b]$ y si $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| = |x^2-y^2| = |x+y||x-y| \leq (|x|+|y|)|x-y| \leq 2M|x-y|< 2M\cdot \delta = \epsilon$ . Esto demuestra que $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ .

Answer 2

La continuidad de $x^2$ se utiliza para demostrar que la función raíz cuadrada existe (mediante el teorema del valor intermedio). Así que, a menos que aceptes que la función es al menos continua para empezar, estás haciendo un argumento circular al utilizar las raíces cuadradas. Por lo demás, la prueba es correcta.

Para demostrar que $g(x) = \sqrt{\epsilon + x^2} - x$ es decreciente, también se puede escribir $g(x) = \epsilon\big/\left(\sqrt{\epsilon + x^2} + x\right)$ en lugar de diferenciar.

Dado que estás abordando esto desde un punto de vista avanzado (utilizando la diferenciación), puede que te interese intentar demostrar el siguiente lema: si $f'(x)$ está acotado en un intervalo, entonces $f(x)$ es uniformemente continua allí. Para demostrar esto, primero hay que mostrar que $|f'(x)| \leq M$ implica $|f(s) - f(t)| \leq M(s-t)$ .