Homeomorfismo de $[0,1]\times[0,1]$ a $\overline{D}(0,1)$ ?

Question

Estoy tratando de construir un homeomorfismo a partir de $[0,1]\times[0,1]$ a $\overline{D}(0,1)$ . Estoy bastante seguro de que hay uno.

He estado tratando de trabajar geométricamente : mapeo $[0,1]\times[0,1]$ a $[-1/2,1/2]\times[-1/2,1/2]$ (lo cual es realmente fácil) y luego mapear la frontera de este último a la frontera de $\overline{D}(0,1)$ y generalizando al interior de ambos... Creo que podría funcionar pero no puedo construir el mapa, ¿me podéis ayudar?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Suponiendo que se consideren estos espacios como subespacios de $\mathbb R ^2$ con la topología euclidiana, he aquí algunas pistas:

1) Dados segmentos de línea $[0,a]$ y $[0,b]$ para algunos positivos $a,b$ ¿se puede construir un homeomorfismo particularmente bonito (es decir, lineal) $[0,a]\to [0,b]$ ?

2) El disco cerrado no es más que un montón de segmentos de línea pegados entre sí, basta con pensar en todos los radios.

3) La plaza $[0,1]\times [0,1]$ no es más que un montón de segmentos de línea pegados, piensa en todos los segmentos de línea desde el centro del cuadrado hasta su límite.

4) Ahora deberías ser capaz de definir una función que mapea el centro del disco cerrado al centro del cuadrado, y mapea linealmente cada radio a un segmento de línea del centro del cuadrado a su frontera. Comprueba que es un homeomorfismo.