¿Cómo de fina debe ser una cubierta afín para conseguir la restricción de Weil?

Question

Hola a todos,

Es bien sabido que la restricción de Weil no conmuta con la formación de coberturas abiertas afines, por lo que me pregunto cómo de fina hay que elegir una cobertura afín para recuperar la restricción de Weil. Más concretamente, dejemos que $L/K$ sea una extensión separable finita, $X$ sea una variedad sobre $L$ . Sea $\{U_i\}$ sea una cubierta abierta afín de $X$ . Para cada $i$ se puede restringir a Weil para obtener la restricción de Weil $V_i$ que es una variedad sobre $K$ . Los datos de encolado para $U_i$ desciende a los datos de encolado para $V_i$ para que podamos pegar el $V_i$ juntos. Pero no es cierto que para cualquier cubierta abierta $\{U_i\}$ El $V_i$ para conseguir $R_{L/k}X$ . Así que la pregunta es, ¿bajo qué condición esos $V_i$ para conseguir $R_{L/K}X$ ?

Al leer el libro Modelo Neron, en particular el último párrafo de la demostración del Teorema 4 en la página 195, pensé que es suficiente si cualquier $d$ puntos de $X$ yacen en algún $U_i$ , donde $d=[L:K]$ es el grado de extensión del campo (la razón es que, para cualquier $K$ -sistema $T$ , dejemos que $T'=T\times_KL$ entonces cualquier fibra en la proyección $T'\to T$ contiene como máximo $d$ puntos, ahora sigue la demostración de ese Teorema). ¿Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

Tienes razón, y algo similar ocurre de forma más general para la restricción de Weil para un cuasi-proyecto $X' \rightarrow S'$ a través de un mapa $f:S' \rightarrow S$ que es finito localmente libre de rango constante $d$ . (Así que en el caso del campo su hipótesis de separabilidad es innecesaria).

De hecho, esto está relacionado con una aparente laguna técnica en la discusión de ese libro: no abordan por qué la restricción de Weil es de nuevo cuasi-compacta (y, por tanto, de tipo finito) sobre la base, y su demostración parece requerir su observación (generalizada al caso de la base relativa).

Para ser precisos, la construcción en ese libro para la afinidad $S$ y $S'$ (que es el caso esencial) se hace inicialmente utilizando todo afines abiertos en $X'$ por lo que a priori es un justo local de tipo finito sobre $S$ . Nótese que la existencia como tipo localmente finito $S$ -es suficiente para saber que ${\rm{R}}_{S'/S}(U') \rightarrow {\rm{R}}_{S'/S}(X')$ es una inmersión abierta para cualquier subesquema abierto $U'$ de $X'$ porque las inmersiones abiertas son la misma cosa que los monomorfismos etale (¡sin ninguna hipótesis de cuasi-compactación sobre los morfismos!).

Desde $X' \rightarrow S'$ es cuasi-proyectiva sobre una afín $S'$ cualquier subconjunto finito de $X'$ se encuentra en un subconjunto abierto afín. Por lo tanto, existe una colección (quizás infinita) $\{U_i\}$ de aperturas afines tales que cualquier ordenada $d$ -tupla en $X'$ ( permitir las repeticiones (por una razón técnica que se verá más adelante) se encuentra en algunos $U_i$ . Ahora hay que hacer dos cosas: (1) demostrar que para cualquier $\{U_i\}$ la colección de subesquemas abiertos ${\rm{R}}_{S'/S}(U_i)$ cubre ${\rm{R}}_{S'/S}(X')$ (una generalización de su suposición), (2) demostrar que existe tal colección $\{U_i\}$ es decir finito .

La afirmación (2) es la topología de conjunto de puntos sin Hausdorffness, como sigue. Elijamos alguna $\{U_i\}$ como en el caso anterior, pero tal vez infinito. El topológico producto ${X'}^d$ de todos los pedidos $d$ -(¡permitiendo repeticiones!) es cuasi-compacto ya que $X'$ es cuasi-compacto, y el Abrir subconjuntos $(U_i)^d$ sí lo cubren (por la cuasi-proyectividad, como se indicó anteriormente), por lo que existe una subcubierta finita, digamos $(U_{i_1})^d, \dots, (U_{i_r})^d$ para algunos $i_1,\dots, i_r$ . Así, $\{U_{i_1},\dots,U_{i_r}\}$ responde (2) afirmativamente.

Queda por demostrar (1), que en efecto es el problema por el que preguntas y para el que ya has identificado el argumento. Para ser pedante, este es tu argumento. Un punto de un esquema es la imagen de un morfismo de un campo, así que un punto de ${\rm{R}}_{S'/S}(X')$ corresponde a la imagen de un mapa $x:{\rm{Spec}}(F) \rightarrow {\rm{R}}_{S'/S}(X')$ para un campo $F$ . Componiendo $x$ con el mapa de la estructura a $S$ define un $F$ -punto valorado $s: {\rm{Spec}}(F) \rightarrow S$ y por el significado functorial de la restricción de Weil vemos que $x$ visto como un $S$ -morfismo (utilizando $s$ ) corresponde a un $S'$ -morfismo $x':S'_s \rightarrow X'$ . Pero $S'_s$ es un $F$ -esquema de rango $d$ por lo que se compone, como máximo, de $d$ puntos físicos, y por lo tanto cae dentro de uno de los subesquemas abiertos $U_i$ (porque permitimos que nuestro ordenado $d$ -tuplas para contener repeticiones). Ahora podemos ejecutar el cálculo a la inversa con eso $U_i$ en el papel de $X'$ para deducir que $x$ factores a través de ${\rm{R}}_{S'/S}(U_i)$ .