Encontrar una función conociendo sus derivadas parciales

Question

Estoy tratando de encontrar una función diferenciable $g:U \to \mathbb R$ (donde $U = \mathbb R^3 - {(0,0,0)}$ ) tal que:

$dg/dx = x(f \circ r)$

$dg/dy = y(f \circ r)$

$dg/dz = z(f \circ r)$

donde $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R$ es una función diferenciable y $r(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ( $r:U\to\mathbb R$ ).

Gracias.

Answer 1

$$\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}h(r)={x\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}}h(r)+xh'(r)=xf(r)$$ $$h'(r)+{1\over r}h(r)=f(r)\implies (rh(r))'=rf(r)\implies h(r)=\frac{\int{rf(r)\,dr}}{r}$$ Así que puedes dejar que $$g(x,y,z)=\int{rf(r)\,dr}$$ Entonces $$\frac{\partial g}{\partial x}=rf(r)\frac{\partial r}{\partial x}=rf(r)\frac{x}{r}=xf(r)$$ y de forma similar con las otras dos variables.