¿Existe una prueba "elemental" de la infinitud de los primos completamente divididos?

Question

Dejemos que $K$ sea una extensión de Galois de los racionales con grado $n$ . El Teorema de la densidad de Chebotarev garantiza que los primos racionales que se dividen completamente en $K$ tienen densidad $1/n$ y por lo tanto hay infinitos primos de este tipo. Como me señaló Kevin Buzzard en un comentario hay una forma más sencilla de ver que hay infinitos primos racionales que se dividen completamente en $K$ , es decir, que el Función zeta de Dedekind $\zeta_K(s)$ tiene un polo simple en $s = 1$ . Aunque este resultado es ciertamente mucho más fácil de demostrar que el Teorema de Chebotarev, sigue sin ser una demostración elemental.

¿Se conoce alguna prueba elemental de que hay infinitos primos racionales que se dividen completamente en $K$ ?

La demostración elemental de Selberg del Teorema de Dirichlet para los primos en las progresiones aritméticas trata el caso en el que $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ es abeliana. No sé nada sobre el caso general. Como el Teorema de Dirichlet es más fuerte de lo necesario, es posible que exista una demostración más sencilla incluso en el caso abeliano.

Observaciones sobre el significado de lo elemental . Soy consciente de que no existe una definición uniformemente reconocida de "prueba elemental" en la teoría de los números. Aunque no me opongo a definiciones alternativas, mi definición personal es una prueba que puede llevarse a cabo en aritmética de primer orden, es decir, sin cuantificación sobre números reales u objetos de tipo superior. Evidentemente, no exijo que se formule explícitamente de esa manera, ¡ni siquiera los lógicos lo hacen! Lo más probable es que lo que tú crees que es elemental también lo sea en mi sentido.

Kurt Gödel observado que las pruebas de hechos aritméticos (de primer orden) pueden ser mucho, mucho más cortas en la aritmética de segundo orden que en la aritmética de primer orden. Esta observación explica parte de la eficacia de la teoría analítica de los números, que es implícitamente de segundo orden. En vista de la observación de Gödel, es posible que hayamos encontrado hechos aritméticos con una prueba de segundo orden razonablemente corta (es decir, que podría encontrarse en un libro de texto de teoría analítica de los números) pero ninguna prueba de primer orden razonable (es decir, la producción de cualquier prueba de este tipo agotaría necesariamente todos nuestros recursos naturales). Es poco probable que lo anterior sea así, pero es interesante saber que podrían existir bestias de este tipo...

Answer 1

Por el teorema del elemento primitivo, $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ para un número de veces que no es cero $\alpha \in K$ y podemos suponer que el polinomio mínimo $f(x)$ de $\alpha$ tiene coeficientes enteros. Sea $\Delta$ sea el discriminante de $f$ . Desde $K/\mathbb{Q}$ es Galois, un primo $p \nmid \Delta$ se divide completamente en $K$ si y sólo si existe un grado $1$ primo por encima de $p$ que es si y sólo si $p | f(n)$ para algunos $n \in \mathbb{Z}$ . Supongamos que el conjunto $P$ de tales primos es finito. Ampliar $P$ para incluir los primos que dividen $\Delta$ . Sea $t$ sea un número entero positivo tal que $\operatorname{ord}_p t> \operatorname{ord}_p f(0)$ para todos $p \in P$ . Para cualquier número entero $m$ tenemos $f(mt) \equiv f(0) \;(\bmod \; t)$ Así que $\operatorname{ord}_p f(mt) = \operatorname{ord}_p f(0)$ para todos $p \in P$ . Pero $f(mt) \to \infty$ como $m \to \infty$ , por lo que eventualmente debe tener un factor primo fuera de $P$ contradiciendo la definición de $P$ .

Answer 2

No creo que el artículo de Lenstra y Stevenhagen

Primas de grado uno y casos algebraicos del teorema de Čebotarev , L'Enseign. Math. 37 (1991), 17-30

ya se ha mencionado. Está disponible en línea aquí .

Answer 3

Hay una vieja y fácil prueba del hecho de que hay infinitos primos $p$ , $p \equiv 1 \bmod n$ : Dejemos que $\Phi_n(X)$ sea el $n$ -polinomio ciclotómico. Demuestre que $\Phi_n(X)$ tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$ si y sólo si $p \equiv 1 \bmod n$ . Haz como en la prueba de Euclides de la infinitud de los primos: si $p_1, \dots, p_r $ son primos $\equiv 1 \bmod n$ entonces considera $\Phi_n(n p_1 \dots p_r)$ . Es mayor que 1 y no es divisible por ninguno de los $p_i$ o cualquier primo que divida $n$ . Así que esto muestra la afirmación para los campos ciclotómicos.

Answer 4

Si $p \mid f(n)$ precisamente, entonces uno de los ideales $(n - \sigma(\alpha))\mathcal{O}_K$ debe tener un factor de $p\mathcal{O}_K$ en su factorización y, por lo tanto, todos lo hacen. Por lo tanto, $p\mathcal{O}_K$ se divide en un producto de $\deg(f)$ ideales y, por lo tanto, todos deben tener el grado uno.

Se podría ver de forma bastante elemental que existen infinitos primos que dividen algún valor de $f$ precisamente: si $p$ no es tal primo, entonces si $p^2 \mid f(n)$ entonces $p^2 \mid f(n + p) = f(n) + pf'(n) + p^2A$ para algún número entero $A$ y por lo tanto $p \mid f'(n)$ . Así, $n$ es un cero común de ambos $f, f'$ en $\mathbb{F}_p$ que no puede ocurrir por $p$ lo suficientemente grande, como $\mathrm{Res}(f, f')$ no desaparece.