Encontré esta pregunta en un libro de Báez y Muniain sobre la teoría Gauge y los nudos. Se daba en uno de los ejercicios. $G$ es un grupo de Lie matricial y $v$ es un campo vectorial invariante a la izquierda definido en $G$ . $v_{1}$ es el valor del campo vectorial en el elemento identidad de $G$ . Sea $\phi_{t}$ : $G\to G$ sea dada por $$\phi_{t}(g)=g \exp(tv_{1})$$ . Tenemos que demostrar que $\phi_{t}$ es el flujo generado por $v$ Es decir, que $$\frac{d\phi_{t}(g)}{dt}|_{t=0}=v_{g}$$ para todos $g\in G$ . ¿Cuál es la mejor manera de demostrar este resultado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vincent
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Dicho muy brevemente (hasta el punto de no hacer justicia a todas las sutilezas implicadas): el caso especial $g = 1$ no tiene nada que ver con los grupos de Lie, es sólo otro ejemplo en el que se puede ver la equivalencia de las distintas definiciones de vector tangente en una variedad.
Ahora bien, si entiendes el $g = 1$ caso, entonces el hecho de cambiar el $1$ en un $g$ tanto a la izquierda como a la derecha del $=$ -no invalida la igualdad es, en esencia, sólo el significado de la palabra 'invariante' en el término 'campo vectorial invariante'.
