Demuestra que si una serie de potencias es nula en un intervalo, entonces todos los coeficientes son nulos

Question

Supongamos que la serie de potencias $P(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n x^n$ converge para $|x| \leq 1$ y que para algunos $0<c\le1$ se da que $$P(x)=0 \quad \forall x \;\text{such that}\;|x| < c$$ Demuestra que $b_n = 0$ para todos $n \geq 1$ .

Lo que pude hacer fue:

$$\lim_{n\to\infty} |b_n x^n|^{1/n} < 1$$ (por el teorema de la raíz para la convergencia)

y como $P(x)=0$ para $|x| < c$ tenemos:

$$\sum_{n=1}^\infty b_n x^n = 0$$

Ahora bien, ¿cómo obtener lo que se pide en la pregunta a partir de estos hechos conocidos? No soy capaz de proceder más allá de esto. Gracias.

Answer 1

Una serie de potencias tiene el mismo radio de convergencia que la serie de sus derivadas. En particular, podemos tomar la derivada término a término para $|x|<c$ . Tenemos $P^{(k)}(0)=0$ y traduciendo esto en términos de $\sum_k a_kx^k$ Esto significa que $a_k=0$ .

Answer 2

Supongamos lo contrario y dejemos que $n$ ser moinimal con $b_n\ne 0$ . Entonces $Q(x)=\sum_{k=0}^\infty b_{n+k}x^k$ converge para $|x|<1$ y tenemos $P(x)=x^nQ(x)$ y por lo tanto también $Q(x)=0$ para $0<|x|<c$ . por continuidad, también $Q(0)=0$ es decir $b_n=0$ - contradicción.

Answer 3

Dejemos que $f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k$ sea una serie de potencias con radio de convergencia $R \gt 0$ y $f(x)=0$ para todos $|x| \lt S$ donde $0 \lt S \lt R$ entonces $c_k=0$ para todos $k$ .

Considere la $n$ -a derivada en el punto $x=0$ . Obtenemos

$$f^{(n)}(0) = \sum_{k=n}^\infty \frac{k!}{(k-n)!}c_k0^{k-n} = n!c_{n}$$

ya que todos los sumandos se cancelan excepto el primero. Ten en cuenta que hemos definido para las series de potencias que $0^0=1$ (¡pero sólo para las series de potencia!).

Como sabemos que $f(x)=0$ en $(-S,S)$ sabemos que su derivada también debe ser cero en el mismo intervalo. Por lo tanto, se deduce que $c_n=0$ para todos $n$ .

Pero como cada coeficiente es cero, toda la serie de potencias es la función cero y, de hecho, cero en todo $\Bbb R$ .