¿Cómo puedo calcular un Punto $P \in E(a, b, \mathbb{F}_p)$ de orden $3$

Question

Dejemos que $$E(a, b, \mathbb{F}_{p} ) = y^2 = f(x) = x^3 + ax + b$$ Buscar por $E(-4, 0, \mathbb{F}_{541} )$ todas las cuestiones de orden $2$ y una cuestión de orden $3$ .

En este caso, las cuestiones de orden $2$ son fáciles de calcular, porque son las raíces del polinomio $f(x)$ (donde $y = 0$ ). $$x^3 - 4x = (x - 2)(x + 2)$$
Así, $2P :=\{ (0,\,0), (2,\,0), (-2,\,0)\}$

Ahora, ¿cómo puedo calcular un Punto $P : 3P = \mathcal{O}$ ? Sólo lo deduzco: $$3P = P + P + P \implies P + P = -P \implies 2P = -P$$ ¿Cómo puedo continuar aquí para encontrar $P$ ?

Answer 1

A ojo: introducir los valores de $\;x\;$ y averiguar, por ejemplo con la ayuda del símbolo de Legendre y la reciprocidad cuadrática, si tiene solución. Para en realidad encontrar la solución puede ser mucho más complicado, pero al menos ya sabrás si existe o no. Por ejemplo (tenga en cuenta que $\;541=1\pmod4\;$ ):

$$x=3\implies 3^3-4\cdot3=15\;,\;\;\left(\frac{15}{541}\right)=\left(\frac3{541}\right)\left(\frac5{541}\right)=\left(\frac{541}3\right)\left(\frac{541}5\right)=$$

$$=\left(\frac13\right)\left(\frac15\right)=1\cdot1=1\implies \text{there exists}\;\;\sqrt{15}\pmod{541}$$

Después de un poco de trabajo (se puede usar la web para esto), uno encuentra $\;\sqrt{15}=\pm189\pmod{541}\;$ Así que tenemos las soluciones $\;(3,189),\,(3,-189)=(3,352)\;$

Puede hacer lo anterior para varios valores de $\;x\pmod{541}\;$ y luego tienes que comprobar cuál es su orden en el grupo que está llevando a cabo la operación... Se puede utilizar la web para facilitar los cálculos, o incluso se puede construir un programa de ordenador para hacer los cálculos, pero va a ser cansado. ¿Por qué crees que hay un punto de orden tres, por cierto?

Answer 2

En general, se puede utilizar polinomios de división para calcular las coordenadas del $n$ -puntos de torsión de una curva elíptica. En este ejemplo, el polinomio de tercera división es $$ \psi_3 = 3x^4 + 517x^2 + 525 = 3(x^2 + 148)(x^2 + 385) $$ y sus raíces dan el $x$ -coordenadas del $3$ -puntos de torsión. Dado que $x^2 + 148$ y $x^2 + 385$ no tienen raíces en $F = \mathbb{F}_{541}$ , entonces no hay ninguna $3$ -puntos de torsión definidos sobre $F$ . Sea $\alpha$ sea una raíz de $x^2 + 148$ y que $K = F(\alpha) \cong \mathbb{F}_{541^2}$ . Entonces $\psi_3$ factores sobre $K$ como $$ \psi_3 = 3(x - \alpha)(x + \alpha)(x - 178 \alpha)(x + 178 \alpha) $$ por lo que el $x$ -coordenadas del $3$ -Los puntos de torsión son $\pm \alpha, \pm 178 \alpha$ . Lamentablemente el $y$ -las coordenadas de estos puntos no están definidas sobre $K$ , por lo que dejar que $\beta = \sqrt{\alpha^3 - 4\alpha}$ y $L = K(\beta) \cong \mathbb{F}_{541^4},$ encontramos que el no trivial $3$ -puntos de torsión de $E$ son $$ (\alpha, \pm \beta), \ (-\alpha, \pm 52 \beta), \ (178 \alpha, \pm 86 \beta), \ (-178\alpha, \pm 144\beta) \, . $$

Otro enfoque más elemental sería utilizar su ecuación $2P = -P$ . Escribir $P = (x,y)$ entonces $-P = (x,-y)$ . Las coordenadas de $2P$ también puede expresarse en términos de $x$ y $y$ (ver aquí ), e igualando éstas con las coordenadas de $-P$ te dará un sistema de ecuaciones para resolver. (Creo que la ecuación que se obtiene para el $x$ -coordinación será $\psi_3 = 0$ por lo que los dos enfoques deberían ser equivalentes).