Rango de una matriz n x n A y su relación con el rango $A^2$

Question

En un antiguo examen, vi que si A es una matriz de 5 x 5 con rank(A) = 3, entonces rank( $A^2$ ) $\geq 1$ . ¿Por qué es así?

Answer 1

Como se ha dicho en los comentarios, se puede argumentar por contradicción. Supongamos que $A^2x=0,\forall x\in V,$ con $\dim V=5.$ Por lo tanto, es

$$A(Ax)=0, \forall x\in V.$$ Eso es,

$$Image(A)\subset \ker(A).$$ Así, $$\dim(Image(A))\le \dim (\ker(A)).$$ Además $$\dim(Image(A))+\dim(\ker(A))=5.$$ Por lo tanto, debe ser $\dim(\ker A)\ge 3$ lo que contradice el hecho de que $rank(A)=3.$ Por lo tanto, debe ser $rank(A^2)\ge 1.$