$\alpha < 45^\circ$ Cómo demostrar que
1) $|AB+AC|>|DB+DC|$ ?
2) $|AB+AC|>|DB+DC+DA|$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el caso de 1), observe que el punto $A$ está en una elipse con focos en $B,C$ con suma de longitudes $|AB|+|BC|.$ La igualdad de los dos ángulos marcados $\alpha$ significa que el rayo $\vec{AD}$ es perpendicular a la elipse en $A$ apuntando a la elipse. Si como sugiere el diagrama el punto $D$ es de hecho interior al triángulo $ABC$ entonces se deduce que $D$ es interior a la elipse, por lo que la suma de longitudes $|DB|+|DC|<|AB|+|BC|.$
Tenga en cuenta que este argumento no utilizó $\alpha <45^{\circ}.$ ¿Conoce algún caso en el que la desigualdad 1) falle cuando $\alpha$ es más de 45 grados?
No se me ha ocurrido nada (todavía) sobre la desigualdad (2).
NOTA al mirarlo más detenidamente, no se necesita la igualdad de los ángulos marcados $\alpha$ en el diagrama, o cualquier desigualdad en los dos ángulos allí. Todo lo que necesitas es que el punto $D$ es interior al triángulo $ABC$ que el diagrama claramente pretende. Dada una elipse cualquiera con focos en $B,C$ y cualquier punto $P$ en esa elipse, el triángulo $BCP$ se encuentra totalmente en el interior de la elipse, excepto el punto $P$ en sí mismo. De ello se deduce que cualquier punto $Q$ interior al triángulo $BCP$ (así que aparte de $P$ ) tendrá una suma de longitudes menor a la de los focos $B,C$ que el punto $P$ en la elipse.
Contraejemplo de la desigualdad 2):
Dejemos que $A=(0,0),B=(-1,9/10),C=(1,9/10),D=(0,8/10).$
Entonces $\alpha=\arctan(9/10) \approx 41.98^\circ,$ así que eso encaja, y es fácil ver que $D$ es interior al triángulo $ABC$ . Pero al calcular AB+AC se obtiene $\sqrt{181}/5 \approx 2.69072$ mientras que el cálculo del lado derecho $DB+DC+DA$ da $1/8+\sqrt{101}/5 \approx 2.80998,$ por lo que en este ejemplo la desigualdad enunciada en el PO como 2) resulta tener el lado derecho mayor que el izquierdo. También hay casos en los que la desigualdad hace se mantienen, por ejemplo, si $D$ se sustituye por $(0,1/2)$ . Esto demuestra que no hay una desigualdad en ninguno de los dos sentidos entre estas dos cantidades, bajo los supuestos dados.
