Demostrar que el espacio métrico $((0,\infty),d)$ está completo, con $d(x,y)=|\ln x-\ln y|$

Question

Dejemos que $X$  denotan $(0,\infty)\subseteq \mathbb{R}$ y que $d:X\times X\to \mathbb{R}$ definirse como $d(x,y)=|\ln x- \ln y|$ . Demostrar que $(X,d)$ es un espacio métrico completo.

Estoy dando por sentado aquí que $d$  define en realidad una métrica sobre $X$ , puesto que ya lo he mostrado. Sin embargo, estoy bastante atascado en cómo mostrar que este espacio es completo. Mi idea inicial era tomar una secuencia de Cauchy arbitraria en $X$ y demostrar que converge y que el límite está en $X$ .

Ahora bien, si dejamos que $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de Cauchy en $X$ sabemos que dado cualquier $\varepsilon>0$ podemos encontrar un $N\in\mathbb{N}$ tal que $d(x_n,x_m)=|\ln x_n - \ln x_m|=|\ln(x_n/x_m)|<\varepsilon$ siempre que $n,m>N$ .

Ahora bien, como $\ln(x_n/x_m)$ debería tender a cero, esto significaría que $x_n$ y $x_m$ se acercan arbitrariamente entre sí como $N$ se hace grande. Esto, a su vez, implicaría que existe un límite, sin embargo no estoy seguro de cómo hacer rigurosos estos argumentos y también de cómo demostrar que dicho límite se encuentra en $X$ .

Cualquier sugerencia sobre cómo proceder será muy apreciada.

Answer 1

Esta es otra forma de ver este problema: Si usted sabe de isometría entonces lo siguiente le ayudará.

Dejemos que $Y=\Bbb R$ con la métrica del valor abbsluto estándar $|\cdot|.$ Como notación en su problema, el mapa dado por $f:(X,d)\to (Y,|\cdot|)$ dado por $f(x)=\log x$ es un isometría suryectiva (como $\forall x,y \in X, \, \left | f(x)-f(y) \right|= |\log x-\log y|=d(x,y)).$ Así que los espacios métricos $X$ y $Y$ son isométricos. Como la isometría preserva la completitud (más precisamente las secuencias de Cauchy) y como $Y=\Bbb R$ es completa, se deduce que $X$ también es completa con respecto a la métrica $d$ .

Answer 2

Pista: Demuestre primero que una secuencia de Cauchy en esta métrica está contenida en un intervalo de la forma $[\epsilon, M]$ porque para un tamaño suficientemente grande $N$ tenemos $|\ln(x_m) - \ln(x_N)| < 1$ siempre que $m > N$ .

Ahora bien, como la derivada de $\ln$ está acotada en dicho intervalo, la función es Lipschitz, es decir, existe $K > 0$ tal que $|\ln(x) - \ln(y)| \leq K|x - y|$ para $x,y \in [\epsilon,M]$ Esto demuestra que la secuencia es también Cauchy en la métrica habitual.

Espero que esto te sirva para empezar.