¿Caracterización teórica de anillos de afines abiertos?

Question

Antecedentes

Recordemos que, dados dos anillos conmutativos $A$ y $B$ el conjunto de morfismos de anillos $A\to B$ está en biyección con el conjunto de morfismos de los esquemas $\mathrm{Spec}(B)\to\mathrm{Spec}(A)$ . Además, sabemos que Spec $(A)$ tiene una base de subconjuntos afines abiertos, los afines abiertos "básicos" o "principales" $D(f)$ para todos $f\in A$ . Además, $D(f)\cong \mathrm{Spec}(A_f)$ como esquemas, y la inclusión $D(f)\hookrightarrow\mathrm{Spec}(A)$ corresponde al mapa de localización $A\to A_f$ .

Pero las respuestas a un pregunta reciente de MathOverflow muestran que los subesquemas afines abiertos de los esquemas afines pueden surgir de otras maneras.

---

Pregunta

Para tratar de dar sentido a la situación anterior, me gustaría saber lo siguiente.

Dado un anillo conmutativo $A$ ¿existe una caracterización "teórica del anillo" de los homomorfismos del anillo $A\to B$ que se dan cuenta $\mathrm{Spec}(B)$ como un subesquema afín abierto de $\mathrm{Spec}(A)$ (más precisamente, aquellos morfismos tales que el mapa inducido $\mathrm{Spec}(B)\to\mathrm{Spec}(A)$ es una inmersión abierta)?

Por supuesto, "teórico del anillo" es un poco vago. Evitemos ciertamente cualquier caracterización tautológica. Preferiría que una respuesta no hiciera ninguna referencia a la topología de Zariski (por ejemplo, los morfismos $A\to A_f$ tiene mucho sentido sin la topología de Zariski), pero no estoy seguro de que eso sea razonable.

---

Actualización: He recibido dos grandes respuestas, ¡gracias a ambos! Elegí la que se acercaba más al tipo de condición que tenía en mente. Pero la respuesta de Dan Petersen también fue muy interesante e inesperada.

Answer 1

Existe la siguiente caracterización. No creo que sea demasiado tautológica. Dejemos que $T \subseteq A$ sea el conjunto de f tal que el mapa inducido $A[f^{-1}] \to B[f^{-1}]$ es un isomorfismo. Entonces $\mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)$ es una inmersión abierta si y sólo si la imagen de $T$ en $B$ genera la unidad ideal.

Answer 2

Teorema 1 : Dejemos que $R$ sea un dominio integral con campo de fracciones $K$ y $R \to A$ un homomorfismo. Entonces $Spec(A) \to Spec(R)$ es una inmersión abierta si y sólo si $A=0$ ou $R \to K$ factores a través de $R \to A$ (es decir $A$ es biracional sobre $R$ ) y $A$ es plana y de tipo finito sobre $R$ .

Prueba: Supongamos que $Spec(A) \to Spec(R)$ es una inmersión abierta y $A \neq 0$ . Se sabe que las inmersiones abiertas son planas y de tipo finito. Por lo tanto, lo mismo es cierto para $R \to A$ . Ahora $R \to K$ es inyectiva, por lo que también $A \to A \otimes_R K$ . En particular, $A \otimes_R K \neq 0$ . Las inmersiones abiertas son estables bajo el cambio de base, por lo que $Spec(A \otimes_R K) \to Spec(K)$ es una inmersión abierta. Pero como $Spec(K)$ sólo tiene un elemento y $Spec(A \otimes_R K)$ es no vacía, tiene que ser un isomorfismo, es decir $K \to A \otimes_R K$ es un isomorfismo. Ahora $R \to A \to A \otimes_R K \cong K$ es la factorización deseada.

Por supuesto, lo contrario no es tan trivial. Se ha demostrado en el documento

Susumu Oda, Sobre extensiones planas biracionales finitamente generadas de dominios integrales Annales mathématiques Blaise Pascal, 11 no. 1 (2004), p. 35-40

Está disponible en línea . En la sección "Añadido en la prueba" se pueden encontrar algunos teoremas relativos al caso general sin dominios integrales. En particular, se señala que en E.G.A. se demuestra que

Teorema 2 : $Spec(A) \to Spec(R)$ es una inmersión abierta si y sólo si $R \to A$ es plana, de presentación finita y un epimorfismo en la categoría de anillos.

De forma más general, en EGA IV, 17.9.1 se demuestra que un morfismo de esquemas es una inmersión abierta si y sólo si es plano, un monomorfismo (categórico) y localmente de presentación finita.

Existen varias descripciones de epimorfismos de anillos (no tienen por qué ser suryentes), véase este MO-pregunta.