Adjunto derecho al funtor de olvido $\mathbf{Cat} \to \mathbf{Graph}$

Question

Existe un functor de olvido $U:\mathbf{Cat} \to \mathbf{Graph}$ que asigna una categoría (pequeña) a su gráfico subyacente (pequeño). Además, tiene un adjunto izquierdo $F:\mathbf{Graph} \to \mathbf{Cat}$ , llamado functor libre, que asigna un grafo a la categoría generada libremente.

Mi pregunta es: ¿existe un adjunto derecho (cofree) a $U$ ? Si existe, ¿cómo se construye? Si no, ¿por qué no?

Supongo que esto no es tan fácil como el caso $\mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ ou $\mathbf{Cat} \to \mathbf{Set}$ porque $U$ preserva los coproductos y porque un grafo tiene aristas y vértices.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $R$ es adjunto a la derecha de $U$ es decir $\hom_{\mathsf{Graph}}(U(\mathcal{C}),\Gamma) \cong \hom_{\mathsf{Cat}}(\mathcal{C},R(\Gamma))$ para las categorías $\mathcal{C}$ y gráficos $\Gamma$ . Para $\mathcal{C} = \{\bullet\}$ vemos que los objetos de $R(\Gamma)$ son los vértices de $\Gamma$ . Para $\mathcal{C} = \{\bullet \to \bullet\}$ vemos que los morfismos de $R(\Gamma)$ son las aristas de $\Gamma$ . La naturalidad con respecto a las dos inclusiones de $\{\bullet\}$ en $\{\bullet \to \bullet\}$ muestra que la identificación es compatible con el vértice inicial y final. Pero esto no puede funcionar, ya que un gráfico no siempre tiene una arista $u \to w$ cuando hay bordes $u \to v$ y $v \to w$ . Además, no siempre tiene una ventaja $u \to u$ .

Answer 2

$U$ no preserva los colímites por lo que no puede tener un adjunto derecho. Por ejemplo, el tramo $1 \leftarrow 1 \sqcup 1 \to 2$ (donde $1$ es la categoría terminal y $2$ es la flecha) tiene pushout $B\mathbb{N}$ (la categoría con un solo objeto y un endomorfismo monoide $\mathbb{N}$ ) en las categorías, pero un solo bucle en los gráficos.