¿Qué papel desempeña el "número dual de Coxeter" en la teoría de Lie (y debería llamarse "número de Kac")?

Question

Mientras trataba de obtener alguna perspectiva en la extensa literatura sobre los módulos de mayor peso para las álgebras de Lie afines en relación con el "nivel" (trabajo de Feigin, E. Frenkel, Gaitsgory, Kac, ....), me encontré con la noción de número dual de Coxeter pero no estoy seguro del alcance de su influencia en la teoría de Lie. El término fue probablemente introducido por Victor Kac y a menudo se denomina $h^\vee$ (a veces por $g$ u otro símbolo). Aparece, por ejemplo, en la tercera edición de 1990 de su libro Álgebras de Lie de dimensión infinita en la sección 6.1. (La primera edición se remonta a 1983.) También aparece mucho en la literatura de física matemática relacionada con representaciones de álgebras de Lie afines. Y aparece en un artículo de 2009 de D. Panyushev en Avances que estudia la estructura de las álgebras de Lie simples y complejas.

¿En qué parte de la teoría de Lie desempeña el número dual de Coxeter un papel natural (y por qué)?

Otra cuestión es si sería más preciso históricamente referirse a la Número Kac de un sistema de raíces ya que la definición de $h^\vee$ no está directamente relacionado con el trabajo de Coxeter en la teoría de grupos.

ANTECEDENTES: Para recordar brevemente dónde se encuentra el Número de Coxeter $h$ fue introducido por Coxeter y posteriormente recibió su nombre actual (¿por Bourbaki?). Coxeter estudiaba un grupo de reflexión finito $W$ actuando irreduciblemente en un espacio euclidiano real de dimensión $n$ : Grupos de Weyl de sistemas de raíces pertenecientes a álgebras de Lie complejas simples (tipos $A--G$ ), que son cristalinos, junto con los restantes grupos diedros y otros dos. El producto de los $n$ generadores canónicos de $W$ tiene orden $h$ , bien definido porque el grafo de Coxeter es un árbol. Sus valores propios son potencias de una primitiva $h$ raíz de 1 (los "exponentes"): $1=m_1 \leq \dots \leq m_n = h-1$ . Además, el $d_i = m_i+1$ son los grados de los invariantes polinómicos fundamentales de $W$ y tener el producto $|W|$ .

En el caso del grupo de Weyl, donde hay un sistema de raíces irreducible (pero los tipos $B_n, C_n$ producen lo mismo $W$ ), el trabajo de varias personas, entre ellas Kostant, llevó a que $h$ es 1 más la suma de los coeficientes de la raíz más alta relativa a una base de raíces simples. Por otro lado, el número dual de Coxeter es 1 más la suma de los coeficientes de la raíz más alta corto raíz del sistema de doble raíz. Para los tipos respectivos $B_n, C_n, F_4, G_2$ los valores resultantes de $h, h^\vee$ son entonces $2n, 2n, 12, 6$ y $2n-1, n+1, 9,4$ . Esto se aleja bastante del marco de Coxeter.

Un lugar donde $h^\vee$ juega claramente un papel esencial es en el estudio de un módulo de mayor peso para un álgebra de Lie afín, donde el elemento central canónico $c$ actúa mediante un escalar (el nivel ou carga central ). El nivel "crítico" $-h^\vee$ ha sido especialmente desafiante, ya que aquí la teoría parece asemejarse a la característica $p$ situación más que la clásica.

Answer 1

El número dual de Coxeter surge naturalmente como factor de normalización de las formas bilineales invariantes en el álgebra de Lie: según el libro de Kac que citas, $2h^{\vee}$ es la relación entre la forma de Killing y la forma bilnear "mínima" (la forma de traza para $sl_n$ ), que tiene la propiedad de que el cuadrado de la longitud de la raíz máxima es 2.

Esta forma mínima se corresponde con el grupo mínimo afín de Kac-Moody correspondiente al álgebra de Lie, o, de forma equivalente, con el haz de líneas mínimo sobre el Grassmanniano afín o los espacios de moduli de los paquetes G sobre las curvas (el generador del grupo de Picard). En consecuencia, el $-2h^\vee$ -de la potencia básica del haz de líneas amplio sobre el Grassmanniano o espacio de moduli de los haces (que se asocia al nivel dado por la forma de Killing) acaba identificándose con el haz de líneas canónico, y en particular el $h^\vee$ es una raíz cuadrada del haz canónico, o estructura de espín. (Esto es análogo al papel de $\rho$ para la variedad bandera finita). Así, el nivel crítico surge naturalmente de forma geométrica -- corresponde a medias formas en los espacios de Grassmannian/moduli. El yoga básico de la cuantización (o de la inducción unitaria/normalizada de representaciones) nos dice que las simetrías clásicas están "desplazadas" por medias formas - cf. $\rho$ -cambios en la teoría de la representación. Por ejemplo, el teorema de Feigin-Frenkel es el análogo del isomorfismo de Harish-Chandra: el centro del álgebra envolvente en el nivel crítico (y no en el nivel 0, como podría suponerse ingenuamente, ignorando los giros de media forma) es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes en el álgebra de Lie (dual). (Esto puede decirse de forma más canónica teniendo en cuenta las simetrías de cambio de variable, siendo la palabra mágica "opers", pero ignoremos eso).

Todo esto se puede decir con mucha naturalidad algebraica (sin recurrir a la geometría) -- $\rho$ puede describirse como la raíz cuadrada del carácter modular de la subálgebra de Borel (hasta el signo o algo así, no estoy siendo muy cuidadoso aquí). El nivel crítico tiene una descripción similar en términos de la mitad positiva (la parte de la serie de Taylor) del álgebra de Kac-Moody - si se intenta definir el carácter modular de esta mitad se llega rápidamente a determinantes semiinfinitos, etc., es decir, a la historia geométrica anterior, y así se puede afirmar que el nivel crítico "es" la mitad del carácter modular de la subálgebra de bucles positiva.

Answer 2

Creo que parte de la pregunta aquí es "¿por qué esta cosa se llama número dual de Coxeter? Parece bastante diferente, así que ¿por qué no le damos un nombre diferente?". Creo que en el libro de Kac se argumenta que el número dual de Coxeter es el nombre correcto.

El número de Coxeter para $\mathfrak{g}$ es la suma de las etiquetas en el diagrama de Dynkin para el álgebra afín no retorcida correspondiente a $\mathfrak{g}$ . Estos rótulos son los coeficientes de una dependencia lineal mínima entera entre las columnas de la matriz afín de Cartan, lo que parece bastante intrínseco, por lo que creo que es una definición razonable. No intentaré explicar por qué es equivalente a otras definiciones más estándar. El número dual de Coxeter es entonces la suma de las etiquetas del diagrama dual afín de Dynkin. Véase Kac, sección 6.1 para estas definiciones.

Creo que lo que se confunde es que "dual" y "afín" no conmutan. Por ejemplo, el dual del diagrama afín de tipo $B_\ell^{(1)}$ es el diagrama afín retorcido de Dynkin de tipo $A_{2\ell-1}^{(2)}$ .

Answer 3

Dejemos que $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ sean álgebras de Lie semisimples correspondientes a grupos compactos simplemente conectados $G,H$ . Cualquier mapa $\mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$ tiene un Índice de Dynkin que es el mapa inducido $\mathrm{H}^4(BH) \to \mathrm{H}^4(BG)$ . Cuando $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ son simples, $\mathrm{H}^4(BH)$ y $\mathrm{H}^4(BG)$ son ambos isomorfos a $\mathbb Z$ (y este isomorfismo se puede elegir canónicamente utilizando el generador que mapea a un elemento positivo-definido bajo $\mathrm{H}^4(BG) \to \mathrm{H}^4(BG) \otimes \mathbb{R} \cong \mathrm{Sym}^2(\mathfrak{g})^W$ ), y el índice de Dynkin es entonces sólo un número.

El número dual de Coxeter de $\mathfrak{g}$ surge como el índice de Dynkin del mapa $\mathrm{adj} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{so}(\dim\mathfrak{g})$ . (Casi. Cuando $\dim \mathfrak g \leq 4$ esto falla. Lo correcto es mirar el mapa adjunto estabilizado $\mathfrak{g} \to \mathfrak{so}(\infty) = \varinjlim \mathfrak{so}(n)$ .)

Lo que se llama "el índice de Dynkin de una representación" $V$ es el índice de Dynkin del mapa $\mathfrak{g} \to \mathrm{sl}(\dim V)$ . Tenga en cuenta que $\mathfrak{so}(n) \to \mathfrak{sl}(n)$ tiene el índice de Dynkin $2$ cuando $n \geq 5$ explicando el factor de dos en las fórmulas habituales sobre $2h^\vee$ y formas de matar.

Answer 4

El número dual de Coxeter $h$ aparece en una conjetura de Cachazo-Douglas-Seilberg-Witten motivada por la teoría gauge supersimétrica. Sea $R:=\bigwedge( g\oplus g) = \bigwedge g\otimes\bigwedge g$ , donde $g$ es un álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita. Sea { $e_i$ } sea alguna base de $g$ y que { $f_i$ } denotan la base dual con respecto a la forma de Killing normalizada. Consideremos tres incrustaciones diferentes de $g$ en la parte de 2 grados de $R$ (que son independientes de nuestra base elegida):

$C_1=$ { $\sum_i [x,e_i]\wedge f_i \otimes 1: x\in g$ } $\subset \bigwedge^2 g\otimes \bigwedge^0 g$

$C_2=$ { $1\otimes \sum_i [x,e_i]\wedge f_i : x\in g$ } $\subset \bigwedge^0 g\otimes \bigwedge^2 g$

$C_3=$ { $\sum_i [x,e_i]\otimes f_i : x\in g$ } $\subset \bigwedge^1 g\otimes \bigwedge^1 g$

Dejemos que $J$ sea el ideal de $R$ generado por $C_1,C_2,C_3$ y que $A$ denotan el $g$ -Álgebra $A:=R/J$ . Por último, dejemos que $$S=\sum_i e_i\otimes f_i\in \bigwedge^1g\otimes\bigwedge^1g,$$ que tampoco depende de la elección de la base.

La conjetura de CDSW es:

La subálgebra $A^g$ de $g$ -invariantes en $A$ se genera como un álgebra por el elemento $S$ . Además, $S^h=0$ y $S^{h-1}\neq 0$ . Así, $$A^g\simeq \mathbb{C}[S]/\langle S^h\rangle.$$

Sé que esto no es una respuesta a tu pregunta, pero es otro ejemplo interesante de cómo el número dual Coxeter hace funcionar la numerología. La conjetura está abierta para el tipo $F_4$ y $E_6,E_7,E_8$ pero se ha resuelto en los otros casos. Además, hace poco hice una pregunta en MathOverFlow relacionada con este tema y Jim me ayudó considerablemente.

Por último, como referencia, véase Sobre la conjetura Cachazo-Douglas-Seiberg-Witten para álgebras de Lie simples artículo de Shrawan Kumar, [J. Amer. Math. Soc. 21 (2008), nº 3, 797--808; MR2393427 (2009e:17013)].

Answer 5

Mi experiencia personal es que me encontré con el número dual de Coxeter cuando estudiaba las series excepcionales de las álgebras de Lie. Necesitaría buscar los detalles y las referencias, pero fue el número dual de Coxeter el que hizo funcionar la numerología.

[Eliminado]