¿Por qué es $E(nX)=nE(X)$ ?

Question

Sé que esto es correcto para el valor esperado, pero entonces no sé cómo es posible. $$ E\ [n X]=n \sum_i x_i \times P_{X}(X = n x_i) $$ pero $ P_{X}(X = n x_i) $ no es igual a $ P_X(X = x{_i}) $ lo que haría la ecuación como : $$ n \sum x_i\times P_X(X=x_i)$$ que es igual a $ \ \ n \ E[X] .$

PS_edit: alguien me dijo que es porque los índices de probabilidad no son lineales, ¿qué tiene que ver exactamente con mi pregunta?

Answer 1

$$E(cX)=\sum_{x\in\Omega}cxP(X=x)=c\sum_{x\in\Omega}xP(X=x)=cE(x)$$

Answer 2

Por definición,

$$E(g(X)) := \sum_j y_j \Pr(g(X)=y_j)$$

Pero en general, si $X$ es una variable aleatoria discreta y una función $g$ da $g(X)$ también una variable aleatoria discreta, * entonces:

$$E(g(X)) = \sum_i g(x_i) \Pr(X=x_i)$$

Aquí $g(X) = cX$ . Tiene razón en que $\Pr(X=x)\ne \Pr(X=g(x))$ en general.

Existe un teorema análogo para $X$ y $g(X)$ continuos de vehículos recreativos.

Este teorema se conoce como el Ley del Estadístico Inconsciente . Se llama así porque los estadísticos a veces utilizan esta ley sin darse cuenta de que están invocando un teorema. Las pruebas se pueden encontrar en este sitio web.

Edición: aquí hay una prueba del caso discreto:

Probando la Ley del Estadístico Inconsciente

Segunda edición: https://proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Function_of_Discrete_Random_Variable

• según Did, $g(X)$ es siempre discreto si $X$ es discreto, lo que parece razonable