Pregunta
Considere $p \in(0,1)$ y un simple paseo $\left(Y_{n}\right)_{n \geq 0}$ en $\mathbb{Z}$ con matriz de transición
$$ P_{n, m}=\left\{\begin{array}{cc} p & \text { if } m=n+1 \\ 1-p & \text { if } m=n-1 \\ 0 & \text { otherwise. } \end{array}\right. $$
Pongamos $$ H_{0}=\inf \left(n \geq 0: Y_{n}=0\right\} $$ sea el tiempo de golpeo del valor $a$ por la cadena.
a) Demuestre que es casi seguro, $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{Y_{n}}{n}=2 p-1 $$
b) Consideremos
$$ f(y)=\mathbb{P}_{y}\left(H_{0}<+\infty\right), \forall y \geq 0 . $$
(i) Cuando $p<\frac{1}{2}$ , demuestran que $f(y)=1, \forall y \geq 0$ .
(ii) Supongamos que $p \geq \frac{1}{2}$ .
Demuestre utilizando la propiedad de Markov fuerte para un tiempo de parada relevante que $$ f(y)=f(1)^{y}, \forall y \geq 1 . $$
Mis intentos
(a)
Es evidente que $Y_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}$ con $X_{k}\sim \operatorname{Ber}(p) \Rightarrow$ la media $\mu=\mathbb{E}\left[X_{k}\right]=p-1-(1-p)=2 p-1$ Además, señalando $\mathbb{E}\left|X_{k}\right|=p \cdot 1+(1-p)=1<\infty$ . Ahora, definiendo lo siguiente: $S_{n}:=\frac{1}{n} Y_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}$ . Lo que nos permite implicar que, usando la ley fuerte del gran número, vemos... $$ S_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}=\frac{Y_{n}}{n} \rightarrow 2 p-1, \mathbb{P}-a.s \quad \square $$ (b)
(i) De la parte (a), tenemos $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{Y_{n}}{n} \rightarrow 2 p-1<0$ ya que $p<\frac{1}{2}$ es decir $Y_{n}$ está reduciendo su tamaño, en promedio, desde un valor positivo $y$ . Además, es evidente que el Estado $0$ es un estado recurrente $(\mathbb{P}\{$ Estado $0$ es golpeado i.o $\}=1)$ . Por lo tanto, como $n \rightarrow \infty\space\space Y_{n}$ reducirá por término medio $$ \therefore f(y)=\mathbb{P}_{y}\left\{H_{0}<\infty\right\}=1 \quad \forall y \geqslant 0 \quad \square $$
(ii) Aquí es donde me quedo atascado, no entiendo del todo la propiedad de Markov fuerte, he visto varias formulaciones y todavía no estoy seguro. Cualquier ayuda sería muy apreciada :)