como puedo decir que (p → q) → (⇁p→ ⇁q) no es una tautología sin usar tabla de verdad?

Question

como se haría en ese caso?

Answer 1

Puedes reducir la expresión a una más simple:

(p -> q) -> (~p -> ~q)

< Utilizando la definición de implicación: p -> q == ~p \/ q >

(~p \/ q) -> (~~p \/ ~q)

(~p \/ q) -> (p \/ ~q)

~(~p \/ q) \/ (p \/ ~q)

< Utilizando ley de DeMorgan: ~(p \/ q) == ~p /\ ~q >

(~~p /\ ~q) \/ (p \/ ~q)

(p /\ ~q) \/ (p \/ ~q)

< Distributiva de la disyunción sobre la conjunción: p \/ (q /\ r) == (p /\ q) \/ (p /\ r) >

(p /\ (p \/ ~q)) \/ (~q /\ (p \/ ~q))

< Ley de absorción: p /\ (p \/ q) == p >

p \/ ~q

Por lo tanto (p -> q) -> (~p -> ~q) es equivalente a p \/ ~q. Como p \/ ~q claramente no es una tautología, entonces (p -> q) -> (~p -> ~q) tampoco.