Dejemos que $\bar X_n$ sea la media de la muestra. ¿Cuál es la tasa exacta de $\bar X_n-\mu$ convergencia a $0$ ,

Question

Supongamos que $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ y $X_1,\cdots,X_n$ son muestras de $X$ . Sea $\bar X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i$ . Entonces es bien sabido que $$\bar X_n\overset{p}\to\mu\qquad\qquad(1)$$ y $$\sqrt{n}(\bar X_n-\mu)\overset{d}\to N(0,\sigma^2)\qquad\qquad(2)$$

Desde $(1)$ tenemos $\bar X_n-\mu=o_p(1)$ . Desde $(2)$ tenemos $\bar X_n-\mu=O_p(1/\sqrt{n})$ . Mi pregunta es si podemos derivar la tasa exacta de $\bar X_n-\mu$ convergencia a $0$ digamos, $\bar X_n-\mu=o_p(n^\alpha)$ ?

Answer 1

Si el $X_i$ tienen una varianza finita, el CLT dice que $n^{1/2} (\overline X_n - \mu) $ converge débilmente, por lo que para cualquier $0<\epsilon < \frac 12$ , $n^{1/2-\epsilon} (\overline X_n - \mu) = o_p(1)$ Es decir $$\overline X_n - \mu = o_p\left(\frac 1{n^{1/2-\epsilon}}\right)$$

Answer 2

Creo que lo que buscas es la ley del logaritmo iterado, que dice para variables iid de varianza finita, $\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma}\sim \frac{\sqrt{2\log\log n}}{\sqrt{n}}$ en el sentido de que el $\limsup$ y $\liminf$ de la relación son $\pm 1$ casi seguro.