Si P es primo, entonces $\frac{2}{P}=1/M+1/N$ donde $M$ y $N$ son números enteros y $M$ NO es igual a $N$ . Demuestre también que esta representación es única.

Question

Si P es primo, entonces $\frac{2}{P}=1/M+1/N$ donde $M$ y $N$ son números enteros y $M$ NO es igual a $N$ . Demuestre también que esta representación es única. Si es así, $M$ y $N$ puede expresarse en términos de $P$ .

Answer 1

Dejemos que $p$ sea un primo impar. Demostramos que hay exactamente una solución en distintos positivo enteros.

Queremos resolver $2MN=p(M+N)$ o, por el contrario $4MN-2p(M+N)=0$ . Reescribir como $$(2M-p)(2N-p)=p^2.$$ Sólo hay dos soluciones: (i) cada término es $p$ o (ii) uno es $1$ y el otro es $p^2$ . El caso (i) da $M=N=p$ .

En el caso (ii) podemos suponer sin pérdida de generalidad que $2M-p=1$ y $2N-p=p^2$ . Ahora resuelve para $M$ y $N$ .

Observación: Si permitimos que uno de los enteros sea negativo, obtenemos, como señala el usuario254665, una solución adicional tomando $2M-p=-1$ y $2N-p=-p^2$ .

Answer 2

Para cualquier número entero $x$ , considere la identidad: $$\frac2P = \frac1x+\frac{2x-P}{xP}$$

necesitamos que el numerador de la segunda fracción sea $1$ que sólo es posible con la elección $x=\frac12(P+1)$ . Usted tiene su $M = x, N = xP$ .