Sólo cómo continua es medir

Question

Es un clásico teorema de análisis real de que la medida de Lebesgue es "continuo" que es para un ascendente de la cadena de subconjuntos $A_k$ hemos

$$\lim_{k\rightarrow \infty} m(A_k)=m\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)$$

y tenemos un análogo de la condición de descendente cadenas finitas de medida. Por supuesto, también podemos hablar de una arbitraria medida de espacio para tener una medida continua así.

Tengo curiosidad por ver si realmente podemos hacer Lebesgue medida continua de una manera significativa. Lo que quiero decir con esto es que si podemos encontrar una Hausdorff la topología en $\mathcal L$, el Lebesgue medibles subconjuntos de a $\mathbb R$, por lo que el $m: \mathcal L \rightarrow [0,\infty]$ es continua y para $A_n \in \mathcal L$ tenemos que $U_n=\bigcup_{k=1}^n A_k$ converge en la topología la unión de la $A_k$. Idealmente me gustaría ver un ejemplo de una topología de tal o si es imposible una prueba de que no es posible.

Un par de cosas a tener en cuenta. No es difícil conseguir dos de las tres condiciones. Por ejemplo podríamos poner el discretos de la topología para obtener Hausdorff y continua o podríamos poner el retroceso de la topología de $[0,\infty]$ bajo $m$ y continua y la convergencia, pero no Hausdorff. Si es demasiado difícil de una cuestión en la medida de Lebesgue de configuración, también me gustaría estar interesado en los otros análogos pregunta para $\ell^1(\mathbb N)$.

Answer 1

Aquí es una manera barata de conseguir un adecuado topología:

Dar $\mathcal L$ la topología inicial con respecto a los dos mapas de $j: \mathcal L \to \{0,1\}^{\mathbb R}$ donde $j(A) = \chi_A$ es la función característica de a $A$, e $m: \mathcal L \to [0,\infty]$. A continuación, $m$ es continua por la definición y $\mathcal L$ es Hausdorff, porque es la topología más fina que la topología inducida por la inclusión $j(\mathcal L)\subset \{0,1\}^{\mathbb R}$.

Ahora establecimiento $U_k = \bigcup_{i\le k} A_i$$A_i\in \mathcal L$, además, nos tienen que $$U_k \to U_\infty \iff j(U_k)\to j(U_\infty)\text{ and }m(U_k)\to m(U_\infty)$$ por definición de la topología inicial. Por lo tanto, esta topología también se cumple que $U_k \to U_\infty$$\mathcal L$.

Answer 2

Identificar los conjuntos con sus funciones de los indicadores, que dotan $\{0,1\}^\mathbb{R}$ con el producto de la topología y de tomar la traza de la topología con respecto a $\mathcal{L}$. Esta topología es, sin duda Hausdorff y satisface la condición de los sindicatos. La continuidad de $m$ debe seguir en el hecho de que para convergente secuencia de conjuntos de $\limsup$ $\liminf$ son iguales y su medida coincide.

Podría ser que la $m$ es sólo continua para finito de medir los espacios.