Ciertamente no es muy difícil entender todo lo que hay que entender sobre el cierre algebraico de Fp. Tal vez la razón por la que esto es insatisfactorio como un ejemplo para fundar la intuición es porque realmente no tiene una estructura topológica agradable; carece de cualquier cosa como una métrica natural. Así que aquí hay un intento de explicar por qué lo que es en cierto sentido el siguiente ejemplo más simple te pone en una mejor situación, en cuanto a la intuición.
Si tienes alguna intuición sobre el aspecto de los números p-ádicos (por ejemplo, topológicamente), entonces secretamente tienes intuición para la topología t-ádica en el campo local completo K=Fp((1/t)). Ahora bien, en lo que respecta a los campos de característica p, esto te pone en la posición de (en tu lenguaje) un "niño de preescolar" que conoce R pero que aún no ha llegado al jardín de infancia para aprender C. ¿Por qué K es como R? En primer lugar, es localmente compacto. En segundo lugar, es al menos análogo a completar Fp(t), que es muy parecido a Q con Fp[t] como análogo de Z, en una valoración "infinita", a saber, el grado o la valoración (1/t)-ádica, en lugar de un lugar "finito" como un polinomio primo en Fp[t]. (La valoración (1/t)-ádica corresponde al punto en el infinito de la recta proyectiva sobre F_p. Asimismo, a los teóricos de los números les encanta decir, quizás en parte para molestar a John Conway, que los valores absolutos reales y complejos en Q corresponden a "primos arquimédicos" o "primos que dividen al infinito". Aunque en realidad es una analogía bastante floja, ya que K=Fp((1/t)) se parece mucho más a Fp((t)), digamos, que R o C a Q2).
Por desgracia, hay dos dificultades adicionales en el caso de la característica p. En primer lugar, al pasar al cierre algebraico L de K perdemos la completitud. En segundo lugar, hacemos una extensión de campo infinita, a diferencia de la extensión de grado 2 C/R. Así, aunque L es un campo algebraicamente cerrado de característica p, se parece poco a R. De hecho, se parece mucho más a un campo algebraicamente cerrado de característica 0 que da un poco más de miedo (al menos para mí) que C, a saber, Cp, o lo que se obtiene al completar el cierre algebraico de Qp con respecto a la topología procedente de la extensión única de la valoración p-ádica. Aunque esto puede parecer malo, creo que en realidad es bueno, porque uno puede realmente conseguir una manija en algunas de las propiedades de Cp. [Nótese que, como ha señalado otra persona que ha respondido, Cp = C como campo, pero no como campo topológico o valorado, que de todas formas es realmente una estructura más interesante de considerar desde el punto de vista de la intuición].
Por ejemplo de algunas similitudes, milagrosamente Cp resulta ser todavía algebraicamente cerrado, y creo que la misma prueba pasa para L arriba. Otra propiedad que comparten L y Cp es que además de las extensiones de campo "geométricas" K'/K que se obtienen al considerar campos de funciones de curvas planas sobre Fp, también hay extensiones "más estúpidas" que provienen de extender el campo de coeficientes. Esto es como pasar a extensiones no ramificadas de campos p-ádicos, en las que uno se ramifica en el campo de residuos. (De hecho, es exactamente lo mismo.) Tanto L como Cp son campos completos valorados con el campo de residuos el cierre algebraico de Fp. (Pero la valoración NO es discreta, sino que toma valores en Q.) Sin embargo, hay que tener cuidado con algunas curvas peligrosas desde el punto de vista topológico. Una búsqueda superficial en Google me dice que Cp no es localmente compacto, aunque es topológicamente separable.
Además, la característica positiva conlleva inevitablemente el problema de las extensiones de campo inseparables que se sientan del lado de L. Este es, por supuesto, un aspecto en el que L/K es diferente a Cp/Qp. A pesar de estas molestias, me gustaría argumentar que la imagen esbozada anteriormente realmente da un ejemplo de un campo algebraicamente cerrado de característica p para el que es posible tener alguna intuición real.
