¿Cuándo hay suficientes láminas proyectivas en un espacio X?

Question

Esta pregunta se hace en nombre de un colega mío.

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Es bien sabido que la categoría abeliana de gavillas sobre $X$ tiene suficientes injectivos: es decir, cada gajo puede ser monomórficamente mapeado a un gajo inyectivo. La prueba es igualmente conocida: se utiliza el concepto de "generadores" de una categoría abeliana.

También es una observación estándar en los textos sobre el tema que en un espacio topológico general $X$ la categoría de láminas necesita no tienen suficientes proyectivos: pueden existir gavillas que no pueden ser mapeadas epimórficamente por una gavilla proyectiva. (Curva peligrosa: esto significa proyectivo en el sentido categórico, no una gavilla de módulos localmente libre). Por ejemplo, Wikipedia señala que el espacio proyectivo con topología de Zariski no tiene suficientes proyectivos, pero que en cualquier espacio espectral, un espacio homeomorfo a $\operatorname{Spec}R$ hay suficientes láminas proyectivas.

Dos preguntas:

1. Quién sabe una prueba real de que no hay suficientes proyectiles en, digamos, $\boldsymbol{P}^1$ sobre los números complejos con la topología de Zariski? ¿Y la topología analítica, es decir $\boldsymbol{S}^2$ ?

2. ¿Se conoce alguna condición necesaria y suficiente en un espacio topológico $X$ para que haya suficientes proyecciones?

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EDIT: Quería decir que la pregunta era puramente para gavillas de grupos abelianos. Eric Wofsey señala que los resultados a los que se alude en Wikipedia no son consistentes cuando se interpretan de esta manera, ya que $\boldsymbol{A}^1$ y $\boldsymbol{P}^1$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ con la topología de Zariski son espacios homeomórficos: ambos tienen la topología cofinita.

Estoy bastante seguro de que cuando mi colega hizo la pregunta, se refería a la categoría topológica, así que no intentaré cambiar eso. Pero el otro caso también es interesante. ¿Y si $(X,\mathcal{O}_X)$ es un espacio localmente anillado. ¿La categoría abeliana de las láminas de $\mathcal{O}_X$ -¿Los módulos tienen suficientes projetivos? Creo que mi advertencia anterior sigue siendo válida. Ya que para un esquema $X$ no todos $\mathcal{O}_X$ -es coherente, no está claro que "gavillas proyectivas" signifique aquí "gavillas localmente libres", incluso si hacemos suposiciones de finitud y noeterianidad para conseguir que lo localmente libre y lo proyectivo coincidan.

Answer 1

Buscando varios ejemplos y contraejemplos para las láminas, a veces es útil mirar los conjuntos parcialmente ordenados con la topología poset: un conjunto $U$ es abierto si y sólo si $x \in U$ y $x < y$ implica que $y \in U$ .

Pero para tales espacios topológicos la categoría de gavillas de grupos abelianos tiene suficientes projetos. La gavilla $Z_{\ge x}$ la extensión por cero de la gavilla constante sobre el conjunto abierto $\{\ge x\}$ es proyectiva. En efecto, $\operatorname{Hom}(Z_{\ge x}, F) = F(\ge x) = F_x$ el tallo en $x$ Así que $\operatorname{Hom}(Z_{\ge x}, -)$ es un functor exacto.

Y cualquier gavilla $F$ es un cociente de sumas directas de éstas: tome una gavilla por cada elemento de cada tallo $F_x$ .

Esto es esencialmente lo mismo que la respuesta de David Treumann. Los conjuntos con el único barrio abierto más pequeño También llamados espacios de Alexandrov, son lo mismo que los posets una vez que se identifican los puntos topológicamente equivalentes.

Answer 2

La versión del argumento de Valery es mejor. Cuando dije " extensión por cero " Quise decir " el avance adecuado " que como él señala sólo es extensión por cero cuando el subespacio es localmente cerrado. Mi suposición oculta de que $x$ es un punto cerrado se coló en la afirmación de que

$$Z_V \oplus Z_{X-x} \to Z_X$$

es una suryección, que puede fallar si $x$ no está cerrado. El argumento de Valery de que $Z_x$ no tiene cobertura proyectiva evita este problema.

No estoy seguro de lo que ocurre si $X$ no está conectado localmente, pero en respuesta a la pregunta de David el rascacielos $Z_p$ en un punto del conjunto de Cantor $C$ no es proyectiva. La suryección $Z_C \to Z_p$ no se divide. El tallo de $Z_C$ en $p$ se identifica con las funciones a $Z$ que son constantes en alguna vecindad de $p$ . Dado que el compuesto $Z_p \to Z_C \to Z_{C-p}$ desaparece vemos que el único mapa $Z_p \to Z_C$ es el mapa cero. En general, nunca podemos separar un rascacielos de la gavilla constante en un punto límite.

Answer 3

Puedo demostrar que en $\operatorname{Coh}(\boldsymbol{P}^1)$ no hay suficientes objetos proyectivos utilizando el teorema de dualidad de Serre y algunos teoremas de fuga. Pero no sé si este es el caso de $\operatorname{Qcoh}(\boldsymbol{P}^1)$ .