¿Cuándo hay suficientes láminas proyectivas en un espacio X?

Question

Esta pregunta se hace en nombre de un colega mío.

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Es bien sabido que la categoría abeliana de gavillas sobre $X$ tiene suficientes injectivos: es decir, cada gajo puede ser monomórficamente mapeado a un gajo inyectivo. La prueba es igualmente conocida: se utiliza el concepto de "generadores" de una categoría abeliana.

También es una observación estándar en los textos sobre el tema que en un espacio topológico general $X$ la categoría de láminas necesita no tienen suficientes proyectivos: pueden existir gavillas que no pueden ser mapeadas epimórficamente por una gavilla proyectiva. (Curva peligrosa: esto significa proyectivo en el sentido categórico, no una gavilla de módulos localmente libre). Por ejemplo, Wikipedia señala que el espacio proyectivo con topología de Zariski no tiene suficientes proyectivos, pero que en cualquier espacio espectral, un espacio homeomorfo a $\operatorname{Spec}R$ hay suficientes láminas proyectivas.

Dos preguntas:

1. Quién sabe una prueba real de que no hay suficientes proyectiles en, digamos, $\boldsymbol{P}^1$ sobre los números complejos con la topología de Zariski? ¿Y la topología analítica, es decir $\boldsymbol{S}^2$ ?

2. ¿Se conoce alguna condición necesaria y suficiente en un espacio topológico $X$ para que haya suficientes proyecciones?

---

EDIT: Quería decir que la pregunta era puramente para gavillas de grupos abelianos. Eric Wofsey señala que los resultados a los que se alude en Wikipedia no son consistentes cuando se interpretan de esta manera, ya que $\boldsymbol{A}^1$ y $\boldsymbol{P}^1$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ con la topología de Zariski son espacios homeomórficos: ambos tienen la topología cofinita.

Estoy bastante seguro de que cuando mi colega hizo la pregunta, se refería a la categoría topológica, así que no intentaré cambiar eso. Pero el otro caso también es interesante. ¿Y si $(X,\mathcal{O}_X)$ es un espacio localmente anillado. ¿La categoría abeliana de las láminas de $\mathcal{O}_X$ -¿Los módulos tienen suficientes projetivos? Creo que mi advertencia anterior sigue siendo válida. Ya que para un esquema $X$ no todos $\mathcal{O}_X$ -es coherente, no está claro que "gavillas proyectivas" signifique aquí "gavillas localmente libres", incluso si hacemos suposiciones de finitud y noeterianidad para conseguir que lo localmente libre y lo proyectivo coincidan.

Answer 1

Acerca de Respuesta de Jon Woolf me parece que la condición de que " $x$ es un punto cerrado" fue utilizado implícitamente: la extensión por cero $Z_A$ sólo está definida para un subconjunto localmente cerrado $A$ (véase, por ejemplo, Tennison " Teoría de la gavilla, " 3.8.6). Así que $X-x$ debe ser localmente cerrado. ¿Qué tal la siguiente modificación trivial: en lugar de $Z_X$ , considere la gavilla $i_\ast Z$ , donde $i$ es la inclusión de un punto $x$ en $X$ .

Supongamos que $x$ no tiene el menor barrio abierto y $x$ tiene una base de vecindades conectadas. Entonces $i_\ast Z$ no es un cociente de una gavilla proyectiva $P$ . Supongamos lo contrario. Entonces para cualquier vecindad abierta conectada $U$ de $x$ el homomorfismo $P(U) \to i_\ast Z(U)$ es cero. Esto implica que el homomorfismo $P \to i_\ast Z$ es cero ya que es equivalente a un homomorfismo del tallo $P_x$ a $Z$ . De hecho, elige un barrio $V$ que es menor que $U$ . Tenemos una suryección $Z_V \to i_\ast Z$ . El homomorfismo $P \to i_\ast Z$ debe tener en cuenta $Z_V$ Así que $P(U) \to i_\ast Z(U)$ debe tener en cuenta $Z_V(U)$ . Pero $Z_V(U)=0$ . Esta igualdad puede fallar si $U$ sin embargo, no está conectado.

Así que para resumir a Jon Woolf y David Treumann, la categoría de gavillas de grupos abelianos en un espacio topológico localmente conectado $X$ tiene suficientes proyecciones si $X$ es un Espacio Alexandrov .

---

Seguramente esto debe aparecer en algún texto estándar. ¿Alguien conoce una referencia? ¿Y qué pasa con los espacios no conectados localmente?

Para espacios anillados $(X,\mathcal{O}_X)$ una dirección sigue siendo clara: $X$ El hecho de ser un espacio Alexandrov implica que tendrás suficientes proyecciones. Pero reflexionando en la otra dirección, $X$ ser un espacio localmente conectado sin vecindades mínimas abiertas implica que no se tienen suficientes proyectivos, parece ser bastante complicado. Se puede pensar en algunas gavillas de estructuras raras para las que el argumento anterior no pasa, en particular $\mathcal{O}_V(U)\ne 0$ . Así que todavía me pregunto cuál es la respuesta para los espacios anillados.

Answer 2

La condición de que cada punto tenga una vecindad abierta mínima es necesaria y suficiente (como sugiere David Treumann más arriba, véase su respuesta sobre la suficiencia).

Supongamos que $X$ es un espacio topológico con un punto $x$ tal que cualquier vecindad conectada de $x$ contiene una vecindad estrictamente menor. Entonces la categoría de tramas de grupos abelianos sobre $X$ no cuenta con suficientes proyecciones.

Prueba : Dada una vecindad conectada $U$ de $x$ encontrar un vecindario estrictamente más pequeño $V$ y considera la portada $\{V , X-x\}$ de $X$ . Existe una sobreproyección

$$Z_V \oplus Z_{X-x} \to Z_X$$

donde $Z_A$ denota la extensión por cero de la gavilla constante con tallo $Z$ en el subespacio $A$ . Si hay suficientes proyectivos entonces hay una cubierta proyectiva $P \to Z_X$ de la gavilla constante. Esto debe factorizar a través de la suryección anterior. Pero por construcción $Z_V(U) =0$ y $Z_{X-x}(U) = 0$ así que

$$P(U) \to Z_X(U)$$

debe ser el mapa cero. Por la suposición de $X$ esto es cierto para cualquier vecindad conectada $U$ de $x$ y así el mapa de tallos

$$P_x \to Z_X,x = Z$$

también es cero. Esto contradice el hecho de que $P \to Z_X$ es una cubierta proyectiva.

Answer 3

Acabo de ver esta pregunta ahora.

Si $X$ es un espacio de Hausdorff con una base de conjuntos abiertos compactos, entonces la categoría de tramas de grupos abelianos sobre $X$ tiene bastantes proyecciones. Dejemos que $R$ sea el anillo de funciones localmente constantes $f\colon X\to \mathbb Z$ con soporte compacto y operaciones puntuales. $R$ es un anillo unital si $X$ es compacto, pero siempre es un anillo con unidades locales (es decir, una unión dirigida de subrubros unitales). Un $R$ -Módulo $M$ es unitario si $RM=M$ . Esto equivale a que para todo $m\in M$ hay un idempotente $e\in R$ con $em=m$ . De ello se desprende que la categoría de los unitarios $R$ -módulos tiene suficientes projetivos (las sumas directas de módulos de la forma $Re$ con $R$ idempotente hacen el trabajo).

Se sabe que la categoría de gavillas de grupos abelianos sobre $X$ es equivalente a la categoría de los unitarios $R$ -módulos. La equivalencia lleva una gavilla a sus secciones globales con soporte compacto. Así, la categoría de gavillas de grupos abelianos sobre $X$ tiene bastantes proyecciones.

No conozco una referencia precisa de este folclore. El caso compacto totalmente desconectado se deduce fácilmente de la Memoria de Pierce de la AMS sobre módulos sobre anillos regulares conmutativos. La modificación para el caso localmente compacto es conocida por quienes estudian representaciones de grupos reductores sobre campos locales.

Answer 4

Pensando en el caso de la gavilla coherente, esto se parece a una pregunta de Totaro. ¿Es su trabajo La propiedad de resolución para esquemas y pilas Totaro se pregunta si, para cualquier variedad de tipo finito $X$ y cualquier gajo coherente $E$ en $X$ existe un haz vectorial $V$ en $X$ con un suryecto $V \to E$ . Esta cuestión está abierta y parece ser bastante difícil.

Answer 5

Aquí hay una condición suficiente. Si un espacio tiene un número finito de puntos, o más generalmente tiene la propiedad de que la intersección de un número incluso infinito de conjuntos abiertos es a su vez abierta, entonces tendrá suficientes gavillas proyectivas. En ese caso hay una vecindad abierta mínima de cada punto, y las extensiones por cero de la gavilla constante de valores Z de estas vecindades abiertas mínimas son proyectivas.

Antes había dicho "conjunto abierto mínimo" en lugar de "barrio abierto mínimo". Es más preciso así.

Me había parecido que estos eran todos los proyectivos que se podían obtener, y Jon muestra que esto es cierto para las variedades localmente conectadas, pero ahora estoy muy confundido acerca de la gavilla de rascacielos en un punto de un conjunto de Cantor, u otro espacio totalmente desconectado. ¿Es esto proyectivo?